圓錐曲線的易錯(cuò)類型題剖析

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).圓錐曲線題目涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，在解題過程中稍有疏忽就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.下面以雙曲線為例將最常見的錯(cuò)誤解法舉例說明，并進(jìn)行錯(cuò)因剖析.

一、在涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，忽略聯(lián)立后所得方程的判別式的情況.

1.中點(diǎn)弦問題使用“點(diǎn)差法”不注意直線存在的條件.

例1：已知雙曲線x-=1，問過點(diǎn)A（1，1）是否存在直線l，使l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在求出直線l的方程，若不存在請(qǐng)說明理由.

錯(cuò)解：設(shè)符合題意的直線l存在，并設(shè)P（x，y），Q（x，y），

x-=1x-=1？圯（x-x）（x+x）=（y-y）（y+y）.

由A（1，1）為PQ的中點(diǎn)，∴x+x=2，y+y=2，∴直線l的斜率k==2，

∴符合條件的l直線存在，其方程為：2x-y-1=0.

錯(cuò)解分析：以上解法中忽略了直線的存在性，故必須結(jié)合題意進(jìn)行驗(yàn)證.

正解：在上述解題的基礎(chǔ)上，由y=2x-1x-=1得2x-4x+3=0，再由Δ=-8<0，故所求直線不存在.

點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用“點(diǎn)差法”處理圓錐曲線中點(diǎn)弦的問題時(shí)，雖然這一方法簡(jiǎn)單快捷，卻無法證明這條直線一定會(huì)與曲線相交，故必須進(jìn)行驗(yàn)證.

2.直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題（或弦長(zhǎng)問題）不注意直線的斜率存在與否和△的存在與否.

例2：已知雙曲線C：x-=1，過點(diǎn)P（1，1）作直線l，使得l與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有（ ）

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

錯(cuò)解：設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，與x-=1聯(lián)立消去y，得

（4-k）x+（2k-2k）x-k+2k-5=0.

要直線l與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，必須△=（2k-2k）-4（4-k）（-k+2k-5）=0，解得k=. 故滿足條件的直線l只有一條，選A.

錯(cuò)解分析：以上解法有三個(gè)問題，一是雙曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，除了利用△=0得出相切的一條外，還有與漸近線平行的直線也與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；二是利用△=0時(shí)，必須以一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零為前提；三是設(shè)直線點(diǎn)斜式時(shí)，還要考慮斜率不存在的情況.

正解：（1）若直線l的斜率不存在，即l：x=1，它與雙曲線的右支相切于頂點(diǎn)（1，0），故l：x=1滿足條件.

（2）若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，與x-=1聯(lián)立消去y，得（4-k）x+（2k-2k）x-k+2k-5=0.

①當(dāng)4-k=0，即k=±2時(shí)，直線l平行于漸近線，與雙曲線也只有一個(gè)交點(diǎn)，故l：y=2x-1和y=-2x+3也滿足條件；

②當(dāng)4-k≠0，即k≠±2時(shí)，由△=0得k=，故l：y=x-也滿足條件.

綜上所述，滿足條件的直線l共有四條，故應(yīng)選D.

點(diǎn)評(píng)：在解題過程中，根據(jù)題型特征，優(yōu)先考慮問題的某些方面，可以有效地防止錯(cuò)解和漏解，分類討論是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵.

二、求參數(shù)范圍時(shí)忽略一些隱含條件：諸如曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)范圍、直線的斜率范圍、代數(shù)式本身的范圍等.

例3：已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的離心率e=，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為，直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍.

錯(cuò)解：由已知，有e=1+==

解之得：a=3，b=1

所以雙曲線方程為-y=1.

把直線y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：（1-3k）x-6kmx-3m-3=0

由題意得△=m+1-3k>0（1）

設(shè)CD中點(diǎn)為P（x，y），則AP⊥CD，且易知：

x=，y=

所以k==-

？圯3k=4m+1（2）

將（2）式代入（1）式得m-4m>0，

解得m>4或m<0.

故所求m的范圍是m∈（-∞，0）∪（4，+∞）.

錯(cuò)解分析：上述錯(cuò)解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關(guān)系，將k=代入（1）式時(shí)，m受k的制約.

正解：因?yàn)閗>0所以m>-，故所求m的范圍應(yīng)為m>4或-