圖形計(jì)算器下的《線性規(guī)劃問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

【內(nèi)容解析】

本節(jié)課是（蘇教版）必修五§3.3.3《線性規(guī)劃問題》，主要內(nèi)容是介紹線性規(guī)劃問題的圖解法，用圖形計(jì)算器來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)在多元變量的約束條件下，尋求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題，通過學(xué)生的自我實(shí)驗(yàn)、自我探究、自我總結(jié)，真正體現(xiàn)了“做中學(xué)”的學(xué)習(xí)模式，在收獲知識(shí)的同時(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；教師也成為學(xué)生探究的合作者和引導(dǎo)者。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能：了解線性規(guī)劃的意義及其相關(guān)概念，理解線性規(guī)劃的圖解法，并會(huì)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，培養(yǎng)學(xué)生使用圖形計(jì)算器的動(dòng)手能力和探究意識(shí)。

2.過程與方法：本節(jié)課是以二元一次不等式表示的平面區(qū)域的知識(shí)為基礎(chǔ)，將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來解決；教師可激勵(lì)學(xué)生從探究入手、講動(dòng)結(jié)合，借助圖形計(jì)算器的直觀演示增加學(xué)習(xí)的趣味性和生動(dòng)性，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。

【學(xué)情分析】

以前學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解僅是一元變量，而這是二元變量和不等式的運(yùn)用，這給學(xué)生帶來較大的挑戰(zhàn)，從而突出方法的重要性；本節(jié)課放在解析幾何學(xué)習(xí)之后，通過直角坐標(biāo)系中數(shù)形結(jié)合的處理方法，形象直觀易懂，使學(xué)生學(xué)得輕松，同時(shí)領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想妙處。

【教學(xué)策略分析】

1.本節(jié)課的重點(diǎn)是用圖解法求解線性規(guī)劃問題，難點(diǎn)是如何尋找線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。

2.充分借助現(xiàn)代信息技術(shù)整合課堂教學(xué)（用圖形計(jì)算器和多媒體），讓學(xué)生增強(qiáng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生初步應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的能力。

3.線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解因線性約束條件的不同而不同，隨線性目標(biāo)函數(shù)的改變而改變，因此，我設(shè)計(jì)了一組變式問題，在線性約束條件相同的情況下改變線性目標(biāo)函數(shù)，看最優(yōu)解的求解過程究竟發(fā)生了哪些變化。從而讓學(xué)生了解求解線性規(guī)劃問題最優(yōu)解應(yīng)注意的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是隨著線性目標(biāo)函數(shù)的直線從原點(diǎn)向右上方平移，其函數(shù)值是逐漸變大還是逐漸變小；二是線性目標(biāo)函數(shù)何時(shí)取得最大值或最小值，以及已知最優(yōu)解的情況，來確定目標(biāo)函數(shù)中字母的取值范圍。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：線性規(guī)劃的圖解法

難點(diǎn)：尋求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解情況

設(shè)計(jì)意圖：可能遇到的疑慮和困難：（1）圖解法中，為什么要將求目標(biāo)函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題？如何想到要這樣轉(zhuǎn)化？（2）數(shù)形結(jié)合思想的深入理解。

為此教學(xué)中教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究情境，并作合理適度的引導(dǎo)。學(xué)生通過對(duì)圖形計(jì)算器的運(yùn)用，進(jìn)行深入探究思考。教師的引導(dǎo)是至關(guān)重要的，能促使學(xué)生獲取直接經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，從更深層次理解“以形助數(shù)”的作用及具體方法。

【教學(xué)過程】

一、問題情境

1.情境：在生活、生產(chǎn)中，經(jīng)常會(huì)遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等方面，都是在多個(gè)約束條件下的問題，下面讓我們從一個(gè)具體事例開始：（蘇教版）必修五：書P72。

2.問題：若實(shí)數(shù)x，y滿足條件4x+y≥104x+3y≤20x≥0y≥0，求函數(shù)z=2x+y的最大值與最小值。

教學(xué)預(yù)設(shè)：教師啟發(fā)、學(xué)生活動(dòng)。

設(shè)問1：能否用圖形計(jì)算器作出這個(gè)不等式組的圖形？

設(shè)問2：方案一：先求出x和y的范圍，再求2x+y的最大值與最小值？

方案二：由構(gòu)造的函數(shù)z=2x+y直接求最值？（學(xué)生分小組活動(dòng)、驗(yàn)證）

設(shè)計(jì)意圖：以景激情，以情激思，利用圖形計(jì)算器立即畫出圖像；讓學(xué)生親自動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)，既有行為參與又有思維參與，從而激發(fā)興趣，豐富經(jīng)歷，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)情境。

用圖形計(jì)算器的操作步驟：

（1）按p鍵，進(jìn)入主菜單，直接按數(shù)字鍵5，進(jìn)入“圖形”窗口；

（2）按e（類型），按u（下頁），按r（Y≤），回到“圖形函數(shù)”窗口，輸入10-4x，成為Y1≤10-4x；

（3）類似第②步與第③步，編輯不等式。每一次輸入完成后按l鍵，使不等式處于被選中狀態(tài)（如圖1）；

（4）按L鍵，再按p（SETUP）鍵，撥動(dòng)光標(biāo)控制盤移動(dòng)光標(biāo)，落在“不等式類型”行處，按q（相交）（如圖2）。最后按d退出設(shè)置，回到“圖形函數(shù)”窗口；

（5）按u（繪圖），繪制出不等式組所給出的區(qū)域圖（如圖3）。

（6）按i，如圖，再按q（圖片），再按q（保存）；再按q（1～20）。鍵入數(shù)字1，按l，把圖形保存為圖片1；

（7）按L鍵，再按p（SETUP）鍵，顯示參數(shù)設(shè)置窗口，如圖4；把背景設(shè)置為Pict01。最后按l鍵，退出設(shè)置；

（8）按p回到主菜單窗口，按數(shù)字鍵u，進(jìn)入“動(dòng)態(tài)函數(shù)”窗口；編輯y=A-2x，按l，選中它；

（9）再按l鍵（或r），如圖5，進(jìn)入“動(dòng)態(tài)變量”窗口，設(shè)置參數(shù)；

（10）按w（設(shè)定），進(jìn)入“動(dòng)態(tài)設(shè)定”窗口；進(jìn)行如下的設(shè)置（開始值為-1，終值為9，步長為0.2），每一項(xiàng)設(shè)置完成后按l鍵，最后按l退出參數(shù)取值范圍設(shè)置；

（11）設(shè)定完后，按l鍵回到“動(dòng)態(tài)變量”窗口，按e（速度），進(jìn)入“動(dòng)態(tài)速度”窗口，設(shè)置參數(shù)變動(dòng)速度；按q，選擇“單步執(zhí)行”，按l，回到“動(dòng)態(tài)變量”窗口；

（12）按l，進(jìn)入執(zhí)行狀態(tài)，如圖6；不斷按l，依設(shè)置步長分別畫出相應(yīng)的圖像。

可見，A的最大值是7.5，不斷按l可見A的最小值是0。

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.基本概念：約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、線性規(guī)劃問題、最優(yōu)解等概念。

2.求解線性規(guī)劃的最優(yōu)解的步驟（前提：指出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)）：

（1）作：作出可行域；

（2）變：變目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By，了解它的幾何意義；

（3）移：平移基線L，尋找使縱截距取得最值時(shí)的點(diǎn)；

（4）求：通過解方程組求點(diǎn)的坐標(biāo)，并轉(zhuǎn)化為最優(yōu)解。

三、知識(shí)運(yùn)用

問題：實(shí)數(shù)x，y滿足條件不變，自我設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)。

活動(dòng)1：你能否設(shè)計(jì)一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，使得最優(yōu)解何時(shí)只有一個(gè)？何時(shí)有無窮多個(gè)？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)利用圖形計(jì)算器研究問題的一般程序，一要明確做什么；二是發(fā)現(xiàn)了什么；三明白為什么是這樣，并從中領(lǐng)會(huì)“變中之不變”的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想。

（教師引導(dǎo)，學(xué)生分小組活動(dòng)，隨著a取不同的值，觀察圖像、尋找規(guī)律、抓關(guān)鍵位置、總結(jié)結(jié)論）

活動(dòng)2：設(shè)z=ax+y，若使目標(biāo)函數(shù)z取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，求a的值。

（部分學(xué)生記錄：①～④設(shè)置變量z的開始值為-1，終值為9，步長為0.2；⑤設(shè)置變量z的開始值為-6，終值為4，步長為0.2；⑥設(shè)置變量z的開始值為-4，終值為8，步長為0.2）

（目標(biāo)函數(shù)在斜率從-2～-～0～～1～2變化下，發(fā)現(xiàn)縱截距與z的最值的變化關(guān)系）

活動(dòng)3：設(shè)z=ax+y，若目標(biāo)函數(shù)z僅在點(diǎn)（5，2）處取到最大值，求a的取值范圍。

（構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)y=k（x-5）+2，使其過定點(diǎn)（5，2），發(fā)現(xiàn)斜率與z的最值的變化情況，如下圖。）

用圖形計(jì)算器的操作步驟：

前面同引例一樣，后面步驟如下：

（1）按p回到主菜單窗口，按數(shù)字鍵u，進(jìn)入“動(dòng)態(tài)函數(shù)”窗口；如圖1，編輯y=k（x-5）+2，按l，選中它；

（2）再按l鍵（或r），進(jìn)入“動(dòng)態(tài)變量”窗口，設(shè)置參數(shù)；

（3）按w（設(shè)定），進(jìn)入“動(dòng)態(tài)設(shè)定”窗口；進(jìn)行如下的設(shè)置（開始值為-6，終值為6，步長為0.2），每一項(xiàng)設(shè)置完成后按l鍵，最后按l退出參數(shù)取值范圍設(shè)置；

（4）設(shè)定完后，按l鍵回到“動(dòng)態(tài)變量”窗口，按e（速度），進(jìn)入“動(dòng)態(tài)速度”窗口，設(shè)置參數(shù)變動(dòng)速度；按q，選擇“單步執(zhí)行”，按l，回到“動(dòng)態(tài)變量”窗口；

（5）按l，進(jìn)入執(zhí)行狀態(tài)，如圖2-4；

設(shè)計(jì)意圖：用已知有唯一（或無數(shù)）最優(yōu)解時(shí)，反過來確定目標(biāo)函數(shù)某些字母系數(shù)的取值問題，來訓(xùn)練學(xué)生從各個(gè)不同的側(cè)面去理解圖解法求最優(yōu)解的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。不僅教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，而且教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法，在做中學(xué)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)發(fā)明，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

四、課堂訓(xùn)練

如圖所示，已知△ABC中的三頂點(diǎn)A（2，4），B（-1，2），C（1，0），點(diǎn)P（x，y）在△ABC內(nèi)部及邊界運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探究并討論以下問題：

（1）z=x+y在處有最大值 ，在處有最小值 ；

（2）z=x-y在處有最大值 ，在處有最小值 ；

思考題：

（3）你能否設(shè)計(jì)一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，使得其取最優(yōu)解的情況有無窮多個(gè)？

（4）請(qǐng)你分別設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，使得最值點(diǎn)分別在A處、B處、C處取得？

【設(shè)計(jì)意圖】及時(shí)檢驗(yàn)學(xué)生利用圖解法解線性規(guī)劃問題的情況，讓學(xué)生再一次深刻體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的妙處，完善了知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。

五、總結(jié)反思，留下懸念

（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

（2）學(xué)到了哪些思考問題的方法？

設(shè)計(jì)意圖：有利于學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識(shí)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生交流和表達(dá)的能力。