巧妙用“1” 鍛煉思維

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) “1” 思維鍛煉【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】0450-9889（2012）10B-0059-02

“1”在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)既簡(jiǎn)單又復(fù)雜的數(shù)字，簡(jiǎn)單在于它的一般形式，復(fù)雜在于它可以有不同的表現(xiàn)。對(duì)此若能巧妙利用，在解題時(shí)往往能收到事半功倍的效果。通過各種變換來運(yùn)用“1”，能鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生的思維能力，同時(shí)能讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)變換的奇妙，感受數(shù)學(xué)方法的魅力，從而能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。本文將具體闡述如何通過變換“1”來解決三角函數(shù)、不等式、復(fù)數(shù)問題。

一、三角函數(shù)問題

1.利用sin■2α+cos■2α=1代換

例1 已知tanα=2，求sinαcosα的值。

分析：這道題目已知角α的正切值，求它的正弦、余弦值，可以列方程組來求解，但根據(jù)tanα=2可知，角α位于第一或者第三象限，需要進(jìn)行分類討論。

解法一：

（1） 當(dāng)α位于第一象限時(shí)，可得

（2） 當(dāng)α位于第三象限時(shí)，可得

由此可得sinαcosα=■。

再仔細(xì)觀察這道題，發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)三角函數(shù)中的齊次式問題。這類問題的特點(diǎn)是已知角α的正切值，求關(guān)于角α正弦和余弦的三角多項(xiàng)式的值，解決這類問題的方法通常是“化弦為切”，而這道題要化弦為切時(shí)遇到麻煩，所以我們需要再觀察它的其他特點(diǎn)。觀察可發(fā)現(xiàn)sinαcosα的分母是1，而聯(lián)想到1=sin■2α+cos2■α，我們可以嘗試通過代換1來尋求另外的解題途徑。

解法二：sinαcosα=■=■=■=■ 。

評(píng)注：解法一是在三角函數(shù)同角的正弦、余弦、正切中知一求二 ，由于不明確角所在的象限，故需要分類討論。解法二利用sin■2α+cos■2α=1，將所求多項(xiàng)式化為二次齊次式，避免分類討論，簡(jiǎn)化了解題過程。

2.利用tan45■=1代換

例2 求值： ■。

分析：本題有好幾種解法，但若選擇不當(dāng)，計(jì)算起來將相當(dāng)麻煩。仔細(xì)觀察題目可發(fā)現(xiàn)本題是分式形式，由此可聯(lián)想到兩角和的正切公式，但兩角和的正切公式tan（α+β）=■=與題目的形式有區(qū)別。這時(shí)我們注意到題目中1的位置是公式中的tanα，則自然會(huì)想到令1=tan45■■，將題目中的1進(jìn)行代換。

解： ■=■=tan60■=■。

二、不等式問題

1.利用題目中有關(guān)“1”的條件

例3 已知x>0，y>0，且x+2y=1，求■+■的最小值。

分析：本題是求兩個(gè)正數(shù)和的最小值問題，容易想到利用基本不等式求解，而基本不等式成立的條件是“一正，二定，三相等”，很顯然題目給定的形式無法滿足第二個(gè)條件，所以需要根據(jù)題目中給出的條件作恒等變形，構(gòu)造出所需形式（一般是湊和或積為定值）。現(xiàn)利用題目中x+2y=1的條件進(jìn)行代換，就能構(gòu)造出基本不等式的形式來求解。

解法一：■+■=■+■=1+■+■+2=■+■+3。

∵x>0，y>0，∴■>0，■>0，

故■+■+3≥■

當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí)取等號(hào)，即x=■y，又x+2y=1，所以當(dāng)x=■-1，y=■時(shí)，■+■取最小值3+■。

解法二：■+■=（■+■）（x+2y）=1+■+■+2=■+■+3，接下來的解法同上。

2.通過構(gòu)造“1”創(chuàng)造條件

例4 若0

分析：看上去本題與例3的問題較為接近，解題方法有可借鑒之處。例3解法的關(guān)鍵之處是利用“1”湊出積為定值的條件，從而讓基本不等式成立的條件得以滿足，而在本題中正缺少了這一關(guān)鍵條件。再仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)分式的分母里面暗藏玄機(jī)：x+（1-x）=1，由此可構(gòu)造出“1”，使問題迎刃而解。

解：■+■=（1-x）+x■+■=■+■+5。

∵00，■>0，

故■+■+5≥■+5=9，

當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即x=■時(shí)取等號(hào)，此時(shí)■+■取最小值9。

評(píng)注：以上兩個(gè)例題都是利用基本不等式求最值的問題，都不是可以直接求解的問題，需要根據(jù)題目的特征，巧妙運(yùn)用“1”或構(gòu)造有關(guān)“1”的條件進(jìn)行恒等變形，將復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單明了。

三、復(fù)數(shù)問題

1.利用-i2=1簡(jiǎn)化除法運(yùn)算

例5 計(jì)算■。

分析：本題中的式子較復(fù)雜，需進(jìn)行多次除法運(yùn)算，若按照常規(guī)做法，計(jì)算比較麻煩。觀察到式子中多處出現(xiàn)“1”，可考慮約分計(jì)算，將式子中的1用-i2代替，通過約分即可化簡(jiǎn)。

解：原式=■=■=■=■=-■。

評(píng)注：對(duì)于分子為實(shí)數(shù)，分母為純虛數(shù)的復(fù)數(shù)運(yùn)算，可利用此法簡(jiǎn)化運(yùn)算。

2.利用■簡(jiǎn)化乘方運(yùn)算

例6 計(jì)算

分析：本題若直接進(jìn)行乘方運(yùn)算，計(jì)算量非常大。注意到

，可變換原式，再利用 即可迅速得解。

評(píng)注：教育學(xué)生，當(dāng)遇到使用通常的方法難以求解的數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)該冷靜下來認(rèn)真分析題目，看可否從不同的角度去另辟蹊徑。如本題中1的兩個(gè)立方虛根■的應(yīng)用大大減少了運(yùn)算量，在簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)運(yùn)算方面能起很大的作用，這一點(diǎn)應(yīng)引起我們的注意。

利用“1”來解決數(shù)學(xué)問題，實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)解題策略、解題方法。它通過等價(jià)轉(zhuǎn)化、恒等變形，適當(dāng)?shù)匾牖驑?gòu)造含有“1”的條件，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，使問題變得清晰，從而得以巧解、妙解。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注意總結(jié)，舉一反三，挖掘出“1”在更多數(shù)學(xué)問題中的妙用，以此類問題為載體，鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生的思維能力。

（責(zé)編 王學(xué)軍）