指導(dǎo)學(xué)生運用分類討論解決數(shù)學(xué)問題

【關(guān)鍵詞】分類討論 數(shù)學(xué)問題 概念型 性質(zhì)型 圖形型

【中圖分類號】G【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）10B-

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分類討論是思考問題的重要方法。它能夠把一個復(fù)雜的問題簡單化，讓問題的解決體現(xiàn)全面性。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于指導(dǎo)學(xué)生運用分類討論的方法解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)他們思維的全面性、條理性、邏輯性。初中數(shù)學(xué)問題按性質(zhì)分，可以分為概念型問題、性質(zhì)型問題和圖形型問題這三大類。本文談?wù)剬τ谶@三大類數(shù)學(xué)問題如何引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論的方法去解決。

一、分類討論解決概念型數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的最小單位。初中生如果對數(shù)學(xué)概念掌握不好，就不可能學(xué)好數(shù)學(xué)知識。在初中數(shù)學(xué)教材中，有很多概念型的數(shù)學(xué)問題，教師需要引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論的方法去解決，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵和外延的理解。

例如，“有理數(shù)”這一數(shù)學(xué)概念，在教材中分別根據(jù)其性質(zhì)和符號進行分類。按照有理數(shù)的性質(zhì)分，它可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩類；按照有理數(shù)的符號來分，它可以分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)三類。在練習(xí)中設(shè)計了這樣的題目：

數(shù)擴展為有理數(shù)之后，下面結(jié)論還成立嗎？請說明理由。

①若兩個數(shù)的和是0，則這兩個數(shù)都是0。

②任何兩個數(shù)相加，和不小于任何一個加數(shù)。

對于這樣的問題，教師往往會讓學(xué)生通過舉反例進行論證。但是，盡管學(xué)生能輕而易舉地舉出許多例子，卻不能說明已經(jīng)達到設(shè)計此題的教學(xué)目的要求。這個問題的教學(xué)目的是從兩個加數(shù)的符號分類討論有理數(shù)的和的各種情況。因此，教師在講解時，應(yīng)通過舉例運算，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，運用分類的方法歸納出兩個異號的有理數(shù)相加，其結(jié)果可以分為三類：第一類，兩個數(shù)的絕對值相等，這兩個數(shù)的和為0；第二類，正數(shù)的絕對值大于負(fù)數(shù)的絕對值，兩個數(shù)相加的和為正數(shù)；第三類，正數(shù)的絕對值小于負(fù)數(shù)的絕對值，兩個數(shù)相加的和為負(fù)數(shù)。這樣，通過分類討論，不僅使問題得到解決，更重要的是讓學(xué)生對有理數(shù)的概念獲得更深入的認(rèn)識。

二、分類討論解決性質(zhì)型數(shù)學(xué)問題

初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)性質(zhì)等一般都是根據(jù)不同的情況分進行分類描述的。對于性質(zhì)型的數(shù)學(xué)問題，指導(dǎo)學(xué)生用分類討論的方法去解決，能夠幫助學(xué)生提高解題效率和數(shù)學(xué)思維能力。

例如，“一次函數(shù)”這課中有這樣一個數(shù)學(xué)性質(zhì)：對于一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0），當(dāng)k>0時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)k<0時，y隨著x的增大而減少。問題：若一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍為-1≤x≤5，相應(yīng)函數(shù)值的范圍為-10≤y≤10，求此函數(shù)的解析式。

在解決這個問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將k分兩種情況進行討論：

①當(dāng)k>0時，由-1≤x≤5得-k+b≤kx+b≤5k+b，即-k+b≤y≤5k+b，由-10≤y≤10比較可得-k+b=-10，5k+b=10，解得k=10/3，b=-20/3；

②當(dāng)k<0時，由-1≤x≤5得5k+b≤kx+b≤-k+b，即5k+b≤y≤-k+b，由-10≤y≤10比較可得5k+b=-10，-k+b=10，解得k=-10/3，b=20/3。

因此，所求的函數(shù)解析式為y=10x/3-20/3或y=-10x/3+20/3。同樣，對于反比例函數(shù)k也可分成k>0和k<0兩種情況進行討論。

這樣，學(xué)生就能夠通過分類討論對一次函數(shù)的性質(zhì)獲得深刻的理解，培養(yǎng)思維的深刻性與嚴(yán)密性。

三、分類討論解決圖形型數(shù)學(xué)問題

培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的重要教學(xué)目標(biāo)。在指導(dǎo)學(xué)生解決圖形型數(shù)學(xué)問題時，利用分類討論的方法能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

問題1：等腰三角形的兩角之差為60°，求該三角形各內(nèi)角的度數(shù)。

對這道題可以這樣引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論：

設(shè)較小內(nèi)角為x，則較大內(nèi)角為x+60°。

①當(dāng)較小內(nèi)角為底角時，x+x+（x+60°）=180°，解得x=40°。

②當(dāng)較小內(nèi)角為頂角時，x+（x+60°）+（x+60°）=180°，解得x=20°，x+60°=80°。綜合起來，該等腰三角形的各內(nèi)角為40°、40°、100°或20°、80°、80°。

問題2：若三角形的周長為17，且其三邊長都是正整數(shù)，那么滿足條件的三角形有多少個？

對這道題可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角形的邊長進行分類討論：

設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b、c為正整數(shù)，a≥b≥c。由a+b+c=17，∵a

分類討論能夠使復(fù)雜的問題簡單化，這樣學(xué)生就有了解題的突破口，使問題能迎刃而解。同時，運用分類討論解決數(shù)學(xué)問題能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。所以我們應(yīng)該重視這種方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用。

（責(zé)編 王學(xué)軍）