淺析孤子求解的微擾理論

【摘 要】實(shí)際問題中孤子方程通常并不以標(biāo)準(zhǔn)形式出現(xiàn)，而是含有阻尼項(xiàng)、增益項(xiàng)、三階色散項(xiàng)等一些較小的附加項(xiàng)，將這些附加項(xiàng)當(dāng)作微擾來處理進(jìn)而求解各種非線性偏微分方程，發(fā)展出了多種孤子微擾理論。本文結(jié)合KdV方程詳細(xì)介紹了兩種應(yīng)用范圍最廣的基于逆散射變換(IST)的微擾理論和基于線性編微分方程理論的直接微擾理論。

【關(guān)鍵詞】孤子；微擾；逆散射變換；非線性偏微分方程

1895年，兩位荷蘭科學(xué)家科學(xué)家Kortweg與de Vries用一波動(dòng)方程對(duì)孤立波現(xiàn)象進(jìn)行完整的理論分析后，在長波近似和小振幅的假定下，建立了單向運(yùn)動(dòng)淺水波的非線性淺水波方程，即著名的KdV方程[1]：

(1)

孤立子理論的基礎(chǔ)便是求解各種非線性偏微分方程。精確孤子解大多存在于由標(biāo)準(zhǔn)方程所描述的理想系統(tǒng)中。而實(shí)際問題中，孤子方程通常不是以標(biāo)準(zhǔn)形式出現(xiàn)的，它一般還含有阻尼項(xiàng)、增益項(xiàng)、三階色散項(xiàng)等一些較小的附加項(xiàng)，這時(shí)我們就可以將這些附加項(xiàng)當(dāng)作微擾來處理。孤子微擾論是孤子理論中最有實(shí)用價(jià)值的內(nèi)容之一。至今已發(fā)展出了多種孤子微擾理論，如：基于逆散射變換(IST)的微擾理論，基于線性編微分方程理論的直接微擾理論，哈密頓微擾理論，線性微擾理論，拉格朗日微擾理論，修正守恒律微擾理論，奇點(diǎn)微擾理論等，其中，IST微擾理論和直接微擾理論是兩種應(yīng)用范圍最廣、處理問題能力最強(qiáng)、系統(tǒng)性最完善的孤子微擾理論。接下來我們便以KdV方程(1)為例，簡單介紹這兩種主要的孤子微擾理論。

1.基于逆散射變換(IST)的微擾理論

逆散射變換(inverse sacttering transformation)方法被廣泛用來求解各類非線性系統(tǒng)的問題[2]。其主要思路如下：首先對(duì)某個(gè)非線性偏微分方程引入一對(duì)相容的線性方程(又稱Lax方程)

(2)

(3)

其中方程(2)是的本征值方程，和分別是的本征值和本征函數(shù)。如果獨(dú)立于時(shí)間，相應(yīng)的一對(duì)線性算子和(Lax對(duì))滿足的相容條件為

(4)

然后求解與Lax方程(2)和(3)相對(duì)應(yīng)的逆散射問題，得到含有散射數(shù)據(jù)的逆散射方程。在無反射條件下，由方程的約斯特(Jost)解獲得孤子解。對(duì)于KdV方程(1)，Lax對(duì)被選為：

(5)

(6)

不同的非線性方程有不同的Lax對(duì)，它們滿足的相容性條件是相應(yīng)非線性方程的等價(jià)形式。這種方法在數(shù)學(xué)上具有很高的嚴(yán)性謹(jǐn)，將它用于許多非線性方程，都可得到單孤子、雙孤子和多孤子解，是較經(jīng)典的孤子理論之一。

當(dāng)不考慮微擾時(shí)，假設(shè)非線性方程具有Lax對(duì)和，當(dāng)給這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)微擾項(xiàng)時(shí)，則受微擾的方程Lax對(duì)不再滿足方程的相容條件（4），而應(yīng)滿足：

(7)

這便是用Lax形式表示的孤子的微擾方程。

當(dāng)存在微擾時(shí)，算子仍滿足（2）式，不過不同于與前面標(biāo)準(zhǔn)方程是，式（2）中的不再獨(dú)立于時(shí)間，并且本征函數(shù)也不再滿足第二個(gè)Lax方程(3)。由于只保留了第一個(gè)Lax方程，此時(shí)引入的Jost解的解析性和漸近行為都與未受微擾時(shí)的系統(tǒng)的—致，逆散射方程也會(huì)保留相同的形式，只是散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化不能再利用方程(3)來得到，需要另行設(shè)法求出。

由于放棄了第二個(gè)Lax方程(3)(因?yàn)槠湟巡怀闪?，則必須用其它方程替代，來求出散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化.將方程(2)對(duì)時(shí)間進(jìn)行偏微商，

對(duì)應(yīng)于分立譜有：

(8)

對(duì)應(yīng)于連續(xù)譜有：

(9)

上述兩個(gè)方程為非齊次偏微分方程，我們可以先求解其對(duì)應(yīng)的齊次方程，然后利用參數(shù)變易法求解，可導(dǎo)出離散譜，反射系數(shù)，正歸化系數(shù)隨時(shí)間的演化關(guān)系.將所定出的散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化關(guān)系代回到逆散射方程中就可定解，此解將滿足含微擾項(xiàng)的非線性方程。我們可以看出，整個(gè)理論的核心就在于怎樣確定散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化。這種方法在處理孤子微擾問題的能力方面是很強(qiáng)大的，能成功的處理很多孤子微擾問題。如KdV、SG和NLS等非線性方程的孤子微擾問題。然而，這種方法思路迂回曲折。這一理論完全是建立在逆散射變換基礎(chǔ)上的，它要求描述未受微擾影響系統(tǒng)的非線性方程能夠用逆散射法精確求解。而一般情況下，Lax對(duì)算子較難求得，這就使得此理論的應(yīng)用有很大局限性。因而只適用于可積系統(tǒng).同時(shí)，對(duì)于那些不懂得或是不熟悉逆散射變換法的人來說想運(yùn)用此理論具有很大難度。

2.直接孤子微擾理論

為了更有效和更廣泛地研究非線性系統(tǒng)的孤子問題，J.R.Yan和Y.Tang發(fā)展了一套基于分離變量法的直接孤子微擾理論。這一理論最顯著的特點(diǎn)是它完全不依賴于逆散射變換理論，思路清晰簡潔，易于理解和操作。其次，這一微擾理論對(duì)沒有微擾時(shí)的非線性方程，沒有可積性要求，因此它既適用于可積系統(tǒng)，又適用于非可積系統(tǒng)，具有較大的普適性和實(shí)用性[3]。已成功處理了十余種不同孤子的微擾問題，這一孤子微擾理論主要思路為：

2.1 含微擾項(xiàng)孤子方程的線性化

引入時(shí)間多重尺度：

，

同時(shí)對(duì)孤子解作微擾漸近展開：

代入含微擾項(xiàng)的非線性方程中，得到關(guān)于孤子零級(jí)、一級(jí)等各級(jí)解的近似方程。其中零級(jí)解的方程正是標(biāo)準(zhǔn)的非線性方程的孤子精確解，只是所得孤子解的孤子參數(shù)會(huì)因?yàn)槲_的影響，而隨時(shí)間發(fā)生緩慢變化。其余各級(jí)修正方程，則變?yōu)榱司€性化的非齊次偏微分方程。在一般情況下，各級(jí)線性方程是可以分離變量(或近似分離變量)的，它們包含一個(gè)共同的不含時(shí)的線性微分算子。這個(gè)線性化的步驟，將求解含微擾的非線性方程的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼飧骷?jí)非齊次線性偏微分方程的問題。

2.2 線性微分算子和共軛算子的本征值問題

為求解各級(jí)非齊次線性偏微分方程，首先要解出相應(yīng)的各級(jí)齊次線性偏微分方程。此部分關(guān)鍵是求解各級(jí)方程中所含線性微分算子和共軛算子的本征函數(shù)，并用它們來構(gòu)造正交完備的微擾展開基。求本征值問題是孤子微擾理論的一個(gè)難點(diǎn)，Yah的理論主要?jiǎng)?chuàng)新之一就是給出一種遞推的方法可以有效地求得和的本征函數(shù)，并利用復(fù)變函數(shù)論中留數(shù)定理嚴(yán)格的直接證明本征函數(shù)系的正交性和完備性。

2.3 各級(jí)非齊次線性偏微分方程的求解

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的分離變量的方法，將各級(jí)修正解和對(duì)應(yīng)的等效源按的完備基展開后，代入各級(jí)非齊次線性偏微分方程，就得到各級(jí)修正解的展開系數(shù)滿足的常微分方程，利用初始條件解得展開系數(shù)即可。由于不含時(shí)間，微擾展開基也獨(dú)立于時(shí)間，因此數(shù)學(xué)計(jì)算比前兩種方法都要簡單。理論上，用這種方法可計(jì)算各級(jí)修正解。

2.4 獲得孤子參數(shù)的演化方程

與無微擾的標(biāo)準(zhǔn)非線性方程精確孤子解不同的是，零級(jí)(絕熱)解的參數(shù)會(huì)隨時(shí)間便變量演化。另一方面，各級(jí)修正展開式中的分離譜項(xiàng)通常是發(fā)散的(又稱“久期”項(xiàng))，消除這些“久期”行為就可得到孤子參數(shù)的演化方程。

在上述方法的基礎(chǔ)上，直接微擾理論又有了一些發(fā)展，如基于Fourier變換法的，基于Laplace變換法的和基于Green函數(shù)的直接法。

參考文獻(xiàn)：

[1]王明亮.非線性發(fā)展方程和孤立子[M].蘭州:蘭州大學(xué)出版社，1982.

[2]俞慧友.孤子理論及其在玻色愛因斯坦凝聚中的應(yīng)用[D].長沙:湖南師范大學(xué)，2009.

[3]李彪.孤立子理論中若干精確求解方法的研究及應(yīng)用[D].大連:大連理工大學(xué)，2004.

作者簡介：陳澤章（1982—），男，河南新鄉(xiāng)人，新鄉(xiāng)學(xué)院物理系教師，研究方向：理論物理。