“微積分”在經(jīng)濟中的一些應用舉例

李萍

【摘要】現(xiàn)如今，微積分已經(jīng)被應用于各個學科之中，特別是在經(jīng)濟學中.下面列舉微積分在經(jīng)濟中的一些應用：（1）導數(shù)在邊際和彈性理論中的應用；（2）導數(shù)在利潤最大化問題中的應用；（3）積分在利潤最大化問題中的應用；（4）微分方程在經(jīng)濟中的應用.

【關鍵詞】微積分；經(jīng)濟；應用

數(shù)學是各個學科得以發(fā)展的基礎，也是各個學科進行理性、抽象和科學分析問題的重要工具.由于數(shù)學高度的抽象性、嚴謹?shù)倪壿嬓?，造成學生學習的困難.久而久之，就產(chǎn)生了“學數(shù)學有什么用”的困惑，所以有必要經(jīng)過訓練和熏陶，使他們建立學習數(shù)學的興趣，樹立學習數(shù)學的信心[1].

微積分是高等數(shù)學的一個重要分支，是進行數(shù)學分析的重要基礎理論.現(xiàn)如今，微積分已經(jīng)被應用于各個學科之中，特別是在經(jīng)濟學中，微積分思想的引入給經(jīng)濟問題的分析和解決帶來了諸多便利.

一、導數(shù)在邊際和彈性理論中的應用

1.函數(shù)變化率——邊際函數(shù)

設函數(shù)y=f（x）可導，則導函數(shù)f′（x）稱為邊際函數(shù)，它的含義是：當x=x0時，當自變量x產(chǎn)生一個單位的改變時，y近似改變f′（x0）個單位.在西方經(jīng)濟學中，有邊際成本、邊際收入、邊際利潤等.

例1 設某產(chǎn)品成本函數(shù)C=C（Q）（C為總成本，Q為產(chǎn)量），其變化率C′=C′（Q）稱為邊際成本，C′（Q0）稱為當產(chǎn)量為Q0時的邊際成本.西方經(jīng)濟學家對它的解釋是：當產(chǎn)量達到為Q0時，生產(chǎn)Q0前最后一個單位產(chǎn)品所增添的成本.

例2 設銷售某種商品Q單位時的總收入函數(shù)為R=R（Q），則R′=R′（Q）稱為銷售量為Q單位時的邊際收入.其經(jīng)濟含義是：在銷售量為Q單位時，再增加一單位產(chǎn)品銷售總收入所增量.

例3 設銷售某種商品Q單位時的利潤函數(shù)為L=L（Q），則L′=L′（Q）稱為銷售量為Q單位時的邊際利潤.

2.導數(shù)與彈性函數(shù)

我們先來看一個例子：

經(jīng)濟學中常需研究一個變量對另一個變量的相對變化情況，因此先引入下面定義：

定義1[2] 設函數(shù)y=f（x）可導，函數(shù)的相對改變量

與自變量的相對改變量Δxx之比Δy/yΔx/x，稱為函數(shù)f（x）從x到x+Δx兩點間的彈性（或相對變化率）.而極限

稱為函數(shù)f（x）在點x的彈性（或相對變化率），記為

注：函數(shù)f（x）在點x的彈性EyEx反映隨x的變化f（x）變化幅度的大小，即f（x）對x變化反映的強烈程度或靈敏度.數(shù)值上，EExf（x）表示f（x）在點x處，當x產(chǎn)生1%的改變時，函數(shù)f（x）近似地改變EExf（x）%，在應用問題中解釋彈性的具體意義時，通常略去“近似”二字.

定義2[2] 設需求函數(shù)Q=f（P），這里P表示產(chǎn)品的價格，于是，可具體定義該產(chǎn)品在價格為P時的需求彈性如下：

η=η（P）=limΔP→0ΔQ/QΔP/P=limΔP→0ΔQΔP·PQ=P·f′（P）f（P）.

注：一般地，需求函數(shù)是單調減少函數(shù)，需求量隨價格的提高而減少（當ΔP>0時，ΔQ<0），故需求彈性一般是負值，它反映產(chǎn)品需求量對價格變動反映的強烈程度（靈敏度）.

用需求彈性分析總收益的變化：總收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即

R

知：

（1）若|η|<1，需求變動的幅度小于價格變動的幅度.R′>0，R遞增.即價格上漲，總收益增加；價格下跌，總收益減少.

（2）若|η|>1，需求變動的幅度大于價格變動的幅度.R′<0，R遞減.即價格上漲，總收益減少；價格下跌，總收益增加.

（3）若|η|=1，需求變動的幅度等于價格變動的幅度.R′=0，R取得最大值.

綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨商品需求彈性的變化而變化.

二、導數(shù)在利潤最大化問題中的應用

在微分學中，通過對已知的函數(shù)進行求導后，就可以得到原函數(shù)的導數(shù)，即邊際函數(shù).而在經(jīng)濟學之中，邊際概念通常表示經(jīng)濟變量的變化率.在經(jīng)濟領域中，企業(yè)家經(jīng)常會遇到如何才能使產(chǎn)品成本最低化、利潤最大等問題.這些問題都可以轉化為最大值和最小值進而用微積分的方法來解決.

例4 一個企業(yè)的總收益函數(shù)是R=4000Q-33Q2，總成本函數(shù)是C=2Q3-3Q2+400Q+500，求最大利潤L.

三、積分在利潤最大化問題中的應用

例5 設某種商品明天生產(chǎn)x單位時固定成本為20元，邊際成本函數(shù)為C′（x）=0.4x+2（元/單位），求總成本函數(shù)C（x）.如果這種商品規(guī)定的銷售單價為18元，且產(chǎn)品可以全部售出，求總利潤函數(shù)L（x），并問每天生產(chǎn)多少單位時才能獲得最大利潤.

解 因為變上線的定積分是被積函數(shù)的一個原函數(shù)，因此可變成本就是邊際成本函數(shù)在[0，x]上的定積分，又已知固定成本為20元，即C（0）=20，所以每天生產(chǎn)x多少單位時總成本函數(shù)為

設銷售x單位商品得到的總收益為R（x），根據(jù)題意有R（x）=18x，

所以總利潤函數(shù)

由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40，而L″（40）=-0.4<0，所以每天生產(chǎn)40單位時才能獲最大利潤，最大利潤為L（40）=300（元）.

四、微分方程在經(jīng)濟中的應用

例6 某商品的需求量Q對價格P的彈性為-Pln3，已知該商品的最大需求量為1200（即當P=0時，Q=1200），求需求量Q對價格P的函數(shù)關系.解 根據(jù)彈性公式得，PQQ′=-Pln3，

化簡得1QQ′=-ln3，

兩邊積分得∫1QQ′dP=∫-ln3dP，

其中，C=eC1，由初始條件P=0時，Q=1200，得C=1200，

所以，需求量Q對價格P的函數(shù)關系Q=1200×3-P.

結 語

在當今學科交叉研究越來越深入的趨勢下，微積分思想與經(jīng)濟學的研究也更加緊密地結合了起來，通過本文可以看出，利用微積分知識可以簡捷、方便地解決許多經(jīng)濟問題.希望通過本文的研究能夠幫助人們了解微積分思想在經(jīng)濟中的重要作用.

【參考文獻】

[1]張柳霞，朱志輝，方小萍.數(shù)學建模思想在高等數(shù)學教學改革中的作用[J].中華女子學院學報，2011（3）：124-128.

[2]曾令武，劉曉燕.經(jīng)濟應用數(shù)學簡明教程[M].廣州：華南理工大學出版社，2012：67-74.