巧構(gòu)造，妙解題

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形、少直觀、形離數(shù)、難入微?！痹诔踔须A段，教師要使學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，因?yàn)閿?shù)與形是和諧統(tǒng)一的，它們是數(shù)學(xué)中不可分割的兩個(gè)部分。本文通過(guò)舉例，來(lái)說(shuō)明利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解題的好處。

一、構(gòu)造直角三角形，妙解題

例1.不查表，求tan22.5°的值。

分析：22.5°是45°的一半，因此，會(huì)使人聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形。

解：如圖1，作Rt△ABC，∠C=90°，使AC=BC=1

∴∠BAC=45°，AB=■，作∠BAC的平分線AE交BC于E，

∴∠EAC=22.5°。

由角平分性質(zhì)可知：■=■，即■=■。

∴CE=■—1，Rt△ACE中，tan22.5°=tan∠EAC=■=■—1。

二、構(gòu)造數(shù)軸，妙解題

例2.求代數(shù)式|x+1|—|x—2|的最大值和最小值。

分析：根據(jù)所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，可以聯(lián)想到絕對(duì)值的幾何意義，繼而想到構(gòu)造數(shù)軸。

解：由絕對(duì)值幾何意義知：|x+1|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P與—1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的距離。|x—2|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)點(diǎn)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P與2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的距離，而A、B的距離為3，于是構(gòu)造數(shù)軸。

（1）當(dāng)x≤—1時(shí)，如圖2，有 |x+1|—|x—2|=—3。

（2）當(dāng)—1

（3）當(dāng)x≥2時(shí)，如圖4，有|x+1|—|x—2|=3，故|x+1|—|x—2|的最大值為3，最小值為—3。

三、構(gòu)造對(duì)稱性圖形，妙解題

例3.如圖5，A、B兩個(gè)村子在河CD的兩側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1公里，BD=3公里，CD=3公里，現(xiàn)要在河邊CD上建一座水廠向A、B兩村輸送水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每公里20000元，請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的總費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用F。

分析：要使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，關(guān)鍵是使水廠到兩村的距離和最短。利用對(duì)稱性，延長(zhǎng)AC到A'，使A'C=AC，連結(jié)A'B，與CD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O就是我們要選擇的水廠位置，再構(gòu)造Rt△A'BE。

解：過(guò)A'作A'E⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于E，則BE=4，A'E=3，由勾股定理得：A'B=5。

∴鋪設(shè)的管道最短距離為AO+BO=A'B=5（公里）。

∴鋪設(shè)水管的總費(fèi)用至少是20000×5=100000（元）。

四、構(gòu)造直角坐標(biāo)系，妙解題

例4.求y=■+■的最小值。

分析：根據(jù)代數(shù)式的構(gòu)成，可以聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，構(gòu)造直角坐標(biāo)系。

解：把原式變?yōu)椋?/p>

■+■

于是，原式表示點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（1，1）、B（—1，1）的距離和。

如圖6，在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。由對(duì)稱性可知，當(dāng)P（x，0）為原點(diǎn)時(shí)，PA+PB最小，即x=0時(shí)，原式取最小值，最小值為2■。即y=■+■的最小值為2■。

五、構(gòu)造其他圖形，妙解題

例5.已知正數(shù)a、b、c和x、y、z滿足條件a+x=b+y=x+z=k，求證：ay+bz+cx

解：如圖7，構(gòu)造以k為邊長(zhǎng)的正三角形ABC，在三邊上分別取點(diǎn)D、E、F，使CD=a，BE=c，AF=b，

則BD=x，AE=z，CF=y，

∵S△CDF+S△AEF+S△BED

∴■（ay+bz+cx）sin60°<■k2sin60°

∴ay+bz+cx

（作者單位：江西省臨川第二中學(xué)）