初中數(shù)學(xué)建模舉例

所謂數(shù)學(xué)建模，就是將某一領(lǐng)域或部門的某一實際問題，通過一定的假設(shè)，找出這個問題的數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程。筆者以一次函數(shù)的應(yīng)用為例，探討幾種不同的數(shù)學(xué)建模過程。

一、直接給出模型

例1.已知彈簧的長度Y在一定的限度內(nèi)是所掛物質(zhì)重量X的一次函數(shù)?，F(xiàn)已測得所掛重物重量為4kg時，彈簧的長度是7.2cm；所掛重物重量為5kg時，彈簧的長度為7.5cm。求所掛重物重量為6kg時彈簧的長度。

既然題干中已經(jīng)明確給出了Y與X之間具備的是一次函數(shù)關(guān)系，那么實際上本題目中數(shù)學(xué)建模過程已經(jīng)被省略掉了?？梢栽O(shè)數(shù)學(xué)模型為Y=kX+b，將已知的兩個條件分別代入這個模型關(guān)系式中，可得：7.2=4x+b，7.5=5x+b。求解二元一次方程組，得出k=0.3，b=6。從而得到模型Y=0.3X+6，將X=6代入該模型中，得到Y(jié)=7.8。于是得到該問題的最終結(jié)果，即當(dāng)所掛物體重量為6kg時，彈簧長度為7.8cm。這種直接給出數(shù)學(xué)模型的方法，在初學(xué)一次函數(shù)理解其待定系數(shù)法時，不失為一種較為合適的數(shù)學(xué)題目設(shè)計。但是從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度來看，不利于鍛煉學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力。

二、猜測建立模型

例2.爸爸穿42碼的鞋，長度為26cm；媽媽穿39碼的鞋，長度為24.5cm。小明穿41碼的鞋子，長度為多少？

可以設(shè)數(shù)學(xué)模型為Y=kX+b，將已知的兩個條件分別代入到這個模型關(guān)系式中，可得：

26=42k+b，24.5=39k+b。求解二元一次方程組，得解k=0.5，b=5。得到模型Y=0.5X+5，將X=41代入該模型中，得到Y(jié)=25.5。從而得到該問題的最終結(jié)果，即小明所穿的41碼的鞋子，長度為25.5cm。

本例至此，似乎已經(jīng)解決了問題。但實際上，如果只知道兩對已知的函數(shù)數(shù)值，還不能否定尺碼和長度之間是否存在著其他函數(shù)關(guān)系，譬如二次函數(shù)關(guān)系。因此，在該題目的題設(shè)中應(yīng)該再給出一個條件，比如可以再給出“妹妹穿36碼的鞋，長度為23cm”，以便獲得一次函數(shù)模型后的驗證。無疑，例題2中一次函數(shù)模型的應(yīng)用較例題1高了一個層次。

三、實際推導(dǎo)模型

例3.星期天，張老師提著籃子（籃子重0.5斤）去集市買10斤雞蛋，當(dāng)張老師往籃子里裝稱好的雞蛋時，發(fā)覺比過去買10斤雞蛋的個數(shù)少很多，于是她將雞蛋裝進籃子再讓攤主一起稱，共稱得10.55斤，她即刻要求攤主退1斤雞蛋的錢。她是怎樣知道攤主少稱了大約1斤雞蛋呢（精確到1斤）？請你將分析過程寫出來，由此，你受到什么啟發(fā)？

把雞蛋的實際重量看做是未知數(shù)X，而把顯示的重量看做是Y，于是如果沒作弊，應(yīng)該是Y=X，但是老板作弊了，那么他又是如何作弊的呢？他無非是想讓Y>X。老板可以調(diào)整他的秤，使得下面的等式成立：Y=kX。其中k是大于1的一個數(shù)。這樣，對于每一個X值，Y值都比它大。根據(jù)這道題目的已知條件得到以下兩個等式：

10=kX ①

10.55=k（X+0.5） ②

由②可以得到：10.55=kX+0.5k ③

縱觀例3的設(shè)計求解過程，處處“原滋原味”。這種“原滋原味”的題目，看似需要用數(shù)學(xué)知識去解決，卻又留給了學(xué)生一定的思考空間。如果教師善于利用數(shù)學(xué)模型，就能充分發(fā)揮其在解題過程中對學(xué)生諸多能力的培養(yǎng)。

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)指出：“人們對于數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥無味、神秘難懂的印象，原因之一便是脫離實際。”因此，每一位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該善于挖掘身邊的生活實例，將它們作為有效的教學(xué)資源，讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)的實踐活動中，自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

（作者單位：江西省南康市龍嶺中學(xué)）