對多解性數(shù)學題的全面認識

數(shù)學刊物上出現(xiàn)的一題多解，往往就題解題，未能從理論的高度加以系統(tǒng)闡述，理論研究的滯后，必然導(dǎo)致許多誤區(qū)。“傳授知識，培養(yǎng)能力”這一新的數(shù)學思想，迫使我們不得不對數(shù)學題的多解性加以全面認識。

一、數(shù)學題的多解性客觀存在，但要發(fā)掘。

每一個知識體系都有著內(nèi)在聯(lián)系，幾何證明及三角恒等式證明，一題多證，俯拾皆是，充分說明：內(nèi)在聯(lián)系，增加了數(shù)學題多解性的因素。因為知識體系相互間存在聯(lián)系，于是代數(shù)的問題可用幾何方法或三角方法去解，并互為利用，亦成為由于存在著適用較廣泛的數(shù)學通法，如代入法、配方法、換元法等，解題方法的多樣化是很顯然的。還因為數(shù)學思想方法的不同，如數(shù)形結(jié)合的思想等，因此解決同一問題，異彩紛呈，解法迥異而殊途同歸。

二、重視多解性研究，提高智力參與程度。

學習離不開智力參與。所謂智力，“主要指一個人的認識能力”，其中有觀察能力，思維能力等等，而“思維能力是智力的核心?！辈剪敿{認為：“探索是數(shù)學教學的生命線”，這里的探索即是指主動地智力參與，體現(xiàn)以學生為主體，數(shù)學題，尤其是數(shù)學基本題多解性的開展討論研究，無異于為學生智力參與架起橋梁和通道。這里需要教者堅持啟發(fā)、誘導(dǎo)、適時點撥、更需創(chuàng)設(shè)情境。

事例一，要畫雙曲線，可用規(guī)尺畫，可用拉鏈畫，可不可用一根繩子畫？要在地面上挖出一、二十米長，一定寬度的雙曲線通道，采用什么器具預(yù)先在地面上放樣？教學試驗表明，如此一題多作，由易到難，循序淅進，加之問題本身的實踐、趣味性，學生智力參與程度很高，差生的動手能力和領(lǐng)悟能力不比優(yōu)生差。

事例二，預(yù)先制作統(tǒng)一規(guī)格的橢圓形紙片，要求畫出平行于對稱軸的有最大面積的矩形。面對張張紙片，不由得我們的學生不積極思考，手腦并用，氣氛活躍，不同于單純求解題。諸如此類問題，問題的實際應(yīng)用價值是不言自明的。

多解題，特別是結(jié)合實際的多解題，更能激發(fā)學生探索的欲望和興趣。因此重視多解性研究，實在有利于智力參與。

三、堅持多解性教學，促進數(shù)學思想方法的養(yǎng)成。

數(shù)學思想是處理問題的基本觀點，是對中學數(shù)學基本方法，基本知識的本質(zhì)的概括，是創(chuàng)造性地發(fā)展數(shù)學教學的指導(dǎo)方針。這些思想方法有函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法等。

北京市教育局陳捷先生，就數(shù)學思想方法專門撰文作了詳盡論述。認為這是培養(yǎng)有能力，有創(chuàng)造性人才的需要。是造就適應(yīng)社會，由應(yīng)試教育轉(zhuǎn)為素質(zhì)教育的需要。指出對數(shù)學思想方法的探討必須加強，都是很有見地的。據(jù)此，我認為堅持數(shù)學題多解性的教學，對數(shù)學思想方法的養(yǎng)成，其功效之顯著，并非其它手段能替代。對這一類基本數(shù)學題的研究，如果堅持下去，必然有利于數(shù)學思想方法的養(yǎng)成，提高應(yīng)用知識解決問題的能力。

四、加強多解性研究，培養(yǎng)創(chuàng)造能力。

就認識過程和學生個體智力參與而言，曹才翰教授認為“學生的學習是個再創(chuàng)造，再發(fā)現(xiàn)的過程”，如此，對數(shù)學題多解性討論研究，絕非知識的簡單重復(fù)和再現(xiàn)，而是更高層次上的學習和深化，它具有再創(chuàng)造，再發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，是發(fā)展思維能力，培養(yǎng)探索精神和良好意志品德的好辦法。數(shù)學家波利亞曾指出：“掌握數(shù)學就是意味著善于解題”，且能解“見解獨到和發(fā)明創(chuàng)造的題?！币活}多解就是要另辟蹊徑見解獨到，敢走別人不曾走的路，達到殊途同歸，如上節(jié)中的事例，要求出最大面積矩形，可用配方法、判別式法、均值不等式法、三角法。數(shù)學方法雖是常見的，但沒有創(chuàng)造精神和思維的靈活性是不成的，我們并不指望每個學生對有發(fā)明創(chuàng)造的題有獨到的見解。要想不斷地讓學生品嘗發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造帶來的喜悅，激發(fā)起他們的求知欲和創(chuàng)造欲，這就不能不加強數(shù)學題多解性的研究和探討。

五、發(fā)掘多解性，努力發(fā)揮綜合效應(yīng)。

發(fā)掘數(shù)學題的多解性其作用還在于：有利于知識的串聯(lián)和深刻理解概念?！督馕鰩缀巍方掏曛?，通過證明三點共線的證法討論，能使學生把本章知識點，差不多都串聯(lián)起來，其效應(yīng)遠非一題一解所能及，有利于重點、難點知識的掌握，起到了綜合復(fù)習的作用。初中階段列方程解應(yīng)用題，既是重點又是難點，初中第三冊代數(shù)有一題：A、B兩地相距18公里，甲由A地，乙由B地同時相向而行，相遇后，甲再走2小時30分至B地，乙再走1小時36分至A地，求二人速度。有人通過探討，從設(shè)未知數(shù)上花力氣，共列出七、八種解法，啟迪了學生思維，開闊了視野，增強了解決難題的信心。

有利于解題方法的擇優(yōu)。事例：余弦定理證法有多種，借助直角坐標系則顯得簡捷而全面。在擇優(yōu)時要體現(xiàn)基本方法和學生可接受性，不宜過份去追求新、奇、巧，以免學生望而生畏；事例二，已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，求證（a+2）2+（b+2）2 等。對于高中學生能想到均值不等式，想到點線距離公式，但往往又忘記將左邊展開，把已知條件代入這一基本方法，忽視最基本方法，一味追求技巧，反而適得其反，甚至造成失誤。不斷發(fā)現(xiàn)有考生一味想解法簡約，怕麻煩，而丟掉基本方法的情況，時間花了，新方法一時又想不出來，該得分的反而丟分。

總之，訓練學生數(shù)學思維能力的最好方法就是一題多解，可以讓學生從多方面去尋求解決問題的辦法。提倡一題多解，便于解法的擇優(yōu)，但不能輕視最基本方法。