拋物線(xiàn)裂縫反平面彈性問(wèn)題的解析解

摘要：針對(duì)含拋物線(xiàn)裂縫的反平面彈性問(wèn)題，采用復(fù)變函數(shù)的保角變換方法，將拋物線(xiàn)裂縫外的區(qū)域映射到單位圓的外部.提出了邊界積分方程以避免變換函數(shù)奇異性引起的困難，求得了拋物線(xiàn)裂縫反平面彈性邊值問(wèn)題的復(fù)勢(shì)解.然后，用本文提出的直接用復(fù)勢(shì)計(jì)算曲線(xiàn)裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的公式得到了拋物線(xiàn)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式.該表達(dá)式在特殊情況下可蛻化為穿透型直線(xiàn)裂紋反平面問(wèn)題的經(jīng)典解.分析表明，應(yīng)力強(qiáng)度因子的大小依賴(lài)于拋物線(xiàn)裂紋的形狀以及無(wú)窮遠(yuǎn)處兩個(gè)方向的切應(yīng)力載荷之比.

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關(guān)鍵詞：應(yīng)力強(qiáng)度因子;拋物線(xiàn)裂縫;反平面彈性斷裂;應(yīng)力強(qiáng)度因子;奇性主部

中圖分類(lèi)號(hào)：O346 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在平面彈性理論中，曲線(xiàn)裂紋問(wèn)題是很重要的一類(lèi)問(wèn)題.Podilchuk等［1］研究了在磁場(chǎng)作用下的橫觀各向同性鐵磁體的拋物線(xiàn)裂紋問(wèn)題的應(yīng)力狀態(tài).魏雪霞等［2］用復(fù)變函數(shù)求解方法，得到了對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)曲裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解.王銀邦等［3］用邊界積分方程研究了含曲線(xiàn)裂紋圓柱的SaintVenant扭轉(zhuǎn)問(wèn)題.Guler等［4］研究了拋物線(xiàn)剛體和剛性圓柱體印壓在功能梯度涂層上的摩擦接觸問(wèn)題，討論了材料的不均勻系數(shù)、摩擦因數(shù)、以及長(zhǎng)度變化對(duì)應(yīng)力的影響，獲得了一系列的基本解.陸孜子等［5］研究了含曲線(xiàn)裂縫的柱體扭轉(zhuǎn)斷裂問(wèn)題，推導(dǎo)了新的邊界積分方程，給出了該問(wèn)題使用邊界元的數(shù)值計(jì)算方法.郭懷民等［6］利用保角變換研究了含冪函數(shù)類(lèi)對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)裂紋的平面彈性問(wèn)題，得到了含冪函數(shù)類(lèi)對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)裂紋尖端Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式.潘天娓等［7］對(duì)含任意曲線(xiàn)裂紋的復(fù)合圓柱體進(jìn)行了扭轉(zhuǎn)斷裂分析.皮建東等［8］研究了含圓弧裂紋和拋物線(xiàn)裂紋的一維六方準(zhǔn)晶反平面剪切問(wèn)題，得到了裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子.

本文的目的是求出拋物線(xiàn)裂紋反平面問(wèn)題的封閉解.當(dāng)利用變換函數(shù)將拋物線(xiàn)裂縫映射為單位圓周時(shí)，會(huì)出現(xiàn)變換函數(shù)帶來(lái)的奇異性，本文利用推導(dǎo)的邊值方程避開(kāi)了它們.由上所述，有關(guān)這一問(wèn)題的嚴(yán)格分析尚無(wú)公開(kāi)發(fā)表的結(jié)果.

4 結(jié) 論

本文建立的邊值方程避免了變換函數(shù)奇異性的困難，直接用復(fù)勢(shì)計(jì)算得到了含拋物線(xiàn)裂縫反平面彈性問(wèn)題的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式.該式在極限條件下可蛻化到穿透型直線(xiàn)裂紋反平面問(wèn)題的經(jīng)典解.

ac1表示拋物線(xiàn)裂縫在y方向上無(wú)量綱的投影長(zhǎng)度，刻畫(huà)出拋物線(xiàn)的形狀.ac1的值愈小，拋物線(xiàn)愈扁平;ac1的值愈大，拋物線(xiàn)愈彎曲.分析表明應(yīng)力強(qiáng)度因子與拋物線(xiàn)裂紋形狀和無(wú)窮遠(yuǎn)處兩個(gè)方向切應(yīng)力載荷之比有關(guān)，與材料的剪切彈性模量G無(wú)關(guān).ac1和τ1/τ2的值越大，拋物線(xiàn)裂縫就越容易失穩(wěn)開(kāi)裂.

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