平面向量、復(fù)數(shù)綜合練習(xí)

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分）

1.i是虛數(shù)單位，計(jì)算i+i2+i3=_________.

2.平面向量a與b的夾角為60°，a=（2，0），|b|=1，則|a+2b|=_________.

3.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，若ka+b和a+kb共線，則實(shí)數(shù)k=_________.

4.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)-1+3i1+2i=_________.

5.已知向量a=（1，2），b=（2，-3）.若向量c滿足（c+a）∥b，c⊥（a+b），則c=_________.

6.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（2-3i）=6+4i（i為虛數(shù)單位），則z的模為_(kāi)________.

7.在平行四邊形ABCD中， E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn).若AC=λAE+μAF，其中λ，μ∈R，則λ+μ=_________.

8.已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.若OC=xOA+yOB（x，y∈R），則x+y的值是_________.

9.已知向量a=（1，-2），b=（2，λ），且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是_________.

10.定義運(yùn)算：acbd=ad-bc，復(fù)數(shù)z滿足zi1i=1+i，則z=_________.

11.在三角形△ABC中，AB=3，BC=7，AC=2.若O是△ABC的外心，則OB·OC=_________.

12.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=1，則|z+2+5i|的最大值為_(kāi)________，最小值為_(kāi)________.

13.設(shè)△ABC的內(nèi)角為A、B、C，向量m=（sinA，32），n=（1，sinA+3cosA），若m∥n，則A=_________.

14.如圖在△ABC中，設(shè)AB=a，AC=b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)為P，若AP=ma+nb，則m+n=_________.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿分14分）

已知z∈C，且|z|-i=z+2+3i（i為虛數(shù)單位），求z2+i.

16.（本小題滿分14分）

已知向量a=（1，-2），b=（2，3）.

（1）若（3a-b）∥（a+kb），求k的值；

（2）若a⊥（ma-b），求m的值；

（3）若a與b夾角為θ，求θ的正切值.

17.（本小題滿分14分）

已知△ABC的面積S滿足3≤S≤33，且AB·BC=6，AB與BC的夾角為θ.

（1）求θ的取值范圍；

（2）求函數(shù)f（θ）=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ的最大值.

18.（本小題滿分16分）

設(shè)向量OZ=（log2（m2-3m-3），log2（m-2））（m∈R）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.

（1）若OZ在虛軸上，求實(shí)數(shù)m的值及|OZ|；

（2）若OZ在第二象限內(nèi)移動(dòng)，求m的取值范圍；

（3）若OZ的終點(diǎn)Z在直線x-2y+1=0上，求m的值.

19.（本小題滿分16分）

已知向量a，b，滿足|a|=1，|b|=1，|ka+b|=3|a-kb|，k>0，

（1）用k表示a·b，并求a與b的夾角θ的最大值；

（2）如果a∥b，求實(shí)數(shù)k的值.

20.（本小題滿分16分）

在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)OA=a，OB=b，

（1）用a，b表示OM；

（2）在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過(guò)M點(diǎn)，設(shè)OE=pOA，OF=qOB，求1p+3q的值.

參考答案

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.

1. -1. 2. 23. 3. ±1. 4. 1+i. 5. （-79，-73）. 6. 2. 7. 43.

8. 5. 9. （-∞，-4）∪（-4，1）. 10. 2-i. 11. -76. 12. 41+1，41-1.

13. π3. 14. 67.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿分14分）

解析：設(shè)z=x+yi （x，y∈R），代入得x2+y2-i=x-yi+2+3i，即x2+y2=x+2-1=-y+3，

解得x=3y=4，所以z=3+4i，所以z2+i=3+4i2+i=（3+4i）（2-i）（2+i）（2-i）=2+i.

16.（本小題滿分14分）

解析：（1）∵a=（1，-2），b=（2，3），

∴3a-b=3（1，-2）-（2，3）=（1，-9），a+kb=（1，-2）+k（2，3）=（1+2k，-2+3k）.

∵（3a-b）∥（a+kb），∴-9（1+2k）=-2+3k，∴k=-13.

（2）∵ma-b=（m-2，-2m-3），由a⊥（ma-b），得

1×（m-2）-2×（-2m-3）=0，∴m=-45.

（3）∵a=（1，-2），b=（2，3），∴a·b=-4，|a|=5，|b|=13，

∴cosθ=-465，∴sinθ=765，∴tanθ=-74.

17.（本小題滿分14分）

解析：（1）由題意知：AB·BC=|AB||BC|cosθ=6，

S=12|AB||BC|sin（π-θ）=12|AB||BC|sinθ=12|AB||BC|cosθtanθ

=12×6tanθ=3tanθ

∵3≤S≤33，∴3≤3tanθ≤33，∴1≤tanθ≤3

又θ∈[0，π]，∴θ∈[π4，π3].

（2）f（θ）=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ=1+sin2θ+2cos2θ

=sin2θ+cos2θ+2=2sin（2θ+π4）+2

∵θ∈[π4，π3]，∴2θ+π4∈[3π4，11π12]，

∴2θ+π4=3π4，即θ=π4時(shí)fmax=f（π4）=3.

18.（本小題滿分16分）

解析：由題意得m應(yīng)滿足的條件為m2-3m-3>0m-2>0，解得m>3+212.

（1）由題意知log2（m2-3m-3）=0，即m2-3m-3=1，解得m=-1或m=4.又m>3+212得m=4，此時(shí)OZ=（0，1），所以|OZ|=1；

（2）由題意可得log2（m2-3m-3）<0log2（m-2）>0，解得33+212，所以m∈（3+212，4）.

（3）由題意得log2（m2-3m-3）-2log2（m-2）+1=0，解得m=1+11或m=1-11，

又m>3+212，所以m=1+11.

19.（本小題滿分16分）

解析：（1）|ka+b|=3|a-kb|（ka+b）2=3（a-kb）2

即∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2a·b=k2+14k

∵a·b=14（k+1k）≥12， 此時(shí)cosθ=a·b|a||b|=a·b≥12θmax=60°.

（2）∵a∥b，∴a與b夾角為0°或180°

a·b=|a||b|cosθ=±1|k2+14k|=1，又∵k>0， ∴k2+1=4kk=2±3.

20.（本小題滿分16分）

解析：（1）設(shè)OM=ma+nb，

則AM=OM-OA=（m-1）a+nb，AD=OD-OA=-a+12b.

∵點(diǎn)A、M、D共線，∴AM與AD共線，

∴m-1-1=n12，∴m+2n=1. ①

而CM=OM-OC=（m-14）a+nb，

CB=OB-OC=-14a+b，

∵C、M、B三點(diǎn)共線，∴CM與CB共線，

∴m-14-14=n1，∴4m+n=1. ②

聯(lián)立①②可得m=17，n=37，∴OM=17a+37b.

（2）證明：EM=（17-p）a+37b，EF=-pa+qb，

∵EF與EM共線，∴17-p-p=37q.∴17q-pq=-37p，即17p+37q=1.1p+3q=7.

（作者：謝洪濤，江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)）