三角綜合練習(xí)

一、填空題（本大題共14小題，每題5分，共計70分）

1.若3π2<α<2π，則直線xcosα+ysinα=1必不經(jīng)過第_______象限.

2.設(shè)cos100°=k，則tan80°是_________.

3.函數(shù)f（x）=asin（x+π4）+3sin（x-π4）是偶函數(shù)的充要條件是a=_________.

4.函數(shù)y=2sin（π6-2x），x∈[π6，π2]的值域為 .

5.函數(shù)y=3sin（2x+π4），x∈[0，π]的單調(diào)遞減區(qū)間_________.

6.若函數(shù)f（x）=2sin ωx（ω>0）在[-2π3，2π3]上單調(diào)遞增，則ω的最大值為_________.

7.若函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點和最低點，且OM·ON=0（O為坐標(biāo)原點），則A·ω=_________.

8.若兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過若干次平依后能夠重合，則稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù).給出下列四個函數(shù)：①f1（x）=sinx+cosx，②f2（x）=2sinx+2，③f3（x）=sinx，④f4（x）=2（sinx+cosx），其中“同形”函數(shù)有_________.

9.在△ABC中，設(shè)AD為BC邊上的高，且AD=BC，b，c分別表示角B，C所對的邊長，則bc+cb的取值范圍是_________.

10.設(shè)α為銳角，若cos（α+π6）=45，則sin（2a+π12）的值為_________.

11.在△ABC中，已知a=5，b=4，cos（A-B）=3132，則cosC=_________.

12.點O為△ABC的外心，已知AB=3，AC=2，若AO=xAB+yAC，x+2y=1，則cosB=_________.

13.在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的對應(yīng)邊，則①若a>b，則f（x）=（sinA-sinB）·x在R上是增函數(shù)；②若a2-b2=（acosB+bcosA）2，則△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值為-2；④若cos2A=cos2B，則A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，則A+B=34π，其中錯誤命題的序號是_________.

14.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c；則下列命題正確的是_________.

①若ab>c2；則C<π3

②若a+b>2c；則C<π3

③若a3+b3=c3；則C<π2

④若（a+b）c<2ab；則C>π2

⑤若（a2+b2）c2<2a2b2；則C>π3

二、解答題（本大題共6小題，共計90分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.單位圓（半徑為1的圓）的圓心O為坐標(biāo)原點，單位圓與y軸的正半軸交于點A，與鈍角α的終邊交于點B（xB，yB），設(shè)∠BAO=β.

（1）用β表示α；

（2）如果sinβ=45，求點B（xB，yB）的坐標(biāo)；

（3）求xB-yB的最小值.

16.已知函數(shù)f（x）=sin（x+π4）+2sin（x-π4）-4cos2x+3cos（x+3π4）.

（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；

（2）求f（x）在[π2，π]上的最小值與最大值.

17.如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC，該曲線段是函數(shù)y=Asin（ωx+2π3） （A>0，ω>0），x∈[-4，0]時的圖象，且圖象的最高點為B（-1，2）.賽道的中間部分為長3千米的直線跑道CD，且CD∥EF.賽道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧DE.

（1）求ω的值和∠DOE的大??；

（2）若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧DE上，且∠POE=θ，求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時θ的值.

18.某學(xué)校需要一批一個銳角為θ的直角三角形硬紙板作為教學(xué)用具（5π24≤θ≤π3），現(xiàn)準(zhǔn)備定制長與寬分別為a、b（a>b）的硬紙板截成三個符合要求的△AED、△BAE、△EBC.（如圖所示）

（1）當(dāng)θ=π6時，求定制的硬紙板的長與寬的比值；

（2）現(xiàn)有三種規(guī)格的硬紙板可供選擇，A規(guī)格長80cm，寬30cm，B規(guī)格長60cm，寬40cm，C規(guī)格長72cm，寬32cm，可以選擇哪種規(guī)格的硬紙板使用.

19.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且（2b-3c）cosA=3acosC.

（1）求角A的大??；

（2）若角B=π6，BC邊上的中線AM的長為7，求△ABC的面積.

20.在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠DAB=α，∠CAB=β，已知2AB·AD=|BC|·|CD|=BD2，cos（γ-α）=437，其中γ∈（π3，5π6）

（1）求cosγ的值；（2）求sin（β+2γ）的值.

參考答案

一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共計70分.

1. 二 2. -1-k2k 3. -3 4. [-2，-1] 5. [π8，5π8] 6. 34

7. 76π 8. ①② 9. [2，5]10. 17502 11. 18 12. cosB=79

13. ③⑤ 14. ①②③

二、解答題：本大題共6小題，共計90分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（1）∠AOB=α-π2=π-2β，所以α=3π2-2β.

（2）由sinα=yBr=yB，得yB=sinα=sin（3π2-2β）=-cos2β=2sin2β-1

=2（45）2-1=725.

由α為鈍角知xB=cosα=-1-sin2α=-2425.

所以B（-2425，725）.

（3）xB-yB=cosα-sinα=2cos（α+π4）.

又α∈（π2，π），則α+π4∈（3π4，5π4）.所以cos（α+π4）∈[-1，-22）.

故xB-yB的最小值為-2.

16.（1）f（x）=22（sinx+cosx）+2（sinx-cosx）-4cos2x-323（cosx+sinx）

=-22cosx-4cos2x

f（-x）=-22cos（-x）-4cos（-2x）

=-22cosx-4cos2x=f（x）.

所以f（x）為偶函數(shù).

（2）f（x）=-22cosx-4（2cos2x-1）

=-8cos2x-22cosx+4

=-8（cosx+28）2+174.

因為x∈[π2，π]，故-1≤cosx≤0，所以，當(dāng)cosx=-1時，f（x）min=22-4.

當(dāng)cosx=-28時，f（x）有最大值174.

17.（1）由條件，得A=2，T4=3. ∴=π6.

∴曲線段FBC的解析式為y=2sin（π6x+2π3）

當(dāng)x=0時，y=OC=3.又CD=3，∴∠COD=π4即∠DOE=π4. （2）由（1），可知OD=6.

又易知當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時，點P在弧DE上，故OP=6.

設(shè)∠POE=θ，0<θ≤π4，“矩形草坪”的面積為

S=6sinθ（6cosθ-6sinθ）=6（sinθ·cosθ-sin2θ）

=6（12sin2θ+12cos2θ-12）=32sin（2θ+π4）-3.

∵0<θ≤π4，故當(dāng)2θ+π4=π2時，θ=π8時，S取得最大值.

18.（1）由題意∠AED=∠CBE=θ

∵b=BE·cos30°=AB·sin30°·cos30°=34a

∴ab=433

（2）∵b=BE·cosθ=AB·sinθ·cosθ=12AB·sin2θ ∴ba=12sin2θ

∵5π24≤θ≤π3 ∴5π12≤2θ≤2π3 ∴ba∈[34，12]

A規(guī)格：3080=38<34， 不符合條件.

B規(guī)格：4060=23>12， 不符合條件.

C規(guī)格：3272=49∈[34，12]，符合條件.

∴選擇買進C規(guī)格的硬紙板.

19.（1）∵（2b-3c）cosA=3acosC，

∴（2sinB-3sinC）cosA=3sinAcosC.

即2sinBcosA=3sinAcosC+3sinCcosA.

∴2sinBcosA=3sin（A+C）.

則2sinBcosA=3sinB，∴cosA=32，則A=π6.

（2）由（1）知A=B=π6，所以AC=BC，C=2π3，

設(shè)AC=x，則MC=12x，又 AM=7.

在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2-2AC·MCcosC=AM2，

即x2+（x2）2-2x·x2·cos120°=（7）2， 解得x=2，故S△ABC=12x2sin2π3=3.

20.（1）在平行四邊形ABCD中，|AD|=|BC|，|AB|=|CD|，

所以|CD|·|BC|=|AB|·|AD|，

又已知2AB·AD=|BC|·|CD|，

所以|AB|·|AD|=2AB·AD=2|AB|·|AD|·cos∠DAB，

所以cos∠DAB=12，又∠DAB∈（0，π），

所以∠DAB=π3，即α=π3，

γ∈（π3，5π6），則γ-α=γ-π3∈（0，π2），

所以sin（γ-α）=1-cos2（γ-α）=17，

cosγ=cos[α+（γ-α）]=cos[π3+（γ-π3）]

=cosπ3cos（γ-π3）-sinπ3sin（γ-π3）=3314；

（2）在平行四邊形ABCD中，有|BC|·|CD|=|AD|·|AB|=BD2

又在△ABD中，BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠DAB，

即有AB·AD=AD2+AB2-2AD·AB·cosπ3，

即有（AB-AD）2=0，所以AB=AD，

即平行四邊形ABCD為菱形，又∠DAB=π3，

所以∠CAB=π6，即β=π6，

由（1）得cosγ=3314，又γ∈（π3，5π6），

所以sinγ=1-cos2γ=1314，

sin2γ=2sinγcosγ=39398，

cos2γ=2cos2γ-1=-7198，

所以sin（β+2γ）=sin（π6+2γ）=12·（-7198+32·39398）=2398.

（作者：陳志華，泰興市第二高級中學(xué)）