談?wù)勅呛愕茸儞Q及應(yīng)用

三角函數(shù)的化簡、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題.歷年高考中，在考查三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí)，還注重考查思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合分析能力.變式中主要涉及角、函數(shù)、名、結(jié)構(gòu)、運(yùn)算方式的變換，其技巧常用差異分析、化異為同、輔助角、三角代換、冪指變換等.

一、三角函數(shù)的求值

三角函數(shù)求值類型有：給角求值、給值求值，解決這類問題的關(guān)鍵是變角.

例1 （2012·湛江）若函數(shù)y=f（x）=sinx+3cosx+2，x∈[0，2π），且關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根α，β，則sin（α+β）=_________.

分析：利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為y=2sin（x+π3）+2，由題意可得2sin（x+π3）+2=m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根α，β.且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根關(guān)于直線x+π3=π2或直線x+π3=3π2對稱，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值.

解：函數(shù)y=f（x）=sinx+3cosx+2=2（12sinx+32cosx）+2=2sin（x+π3）+2

再由x∈[0，2π）可得π3≤x+π3<2π+π3，故-1≤sin（x+π3）≤1，故0≤f（x）≤4由題意可得

2sin（x+π3）+2=m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根α，β，

且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根關(guān)于直線x+π3=π2或直線x+π3=3π2對稱，

故有 α+π3+β+π32=π2或α+π3+β+π32=3π2，故α+β=π3 或 α+β=7π3，

故sin（α+β）=32.

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的對稱性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為513、45.則tan（α+β2）的值為_________.

分析：先根據(jù)銳角α，β的終邊分別與單位圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得到其縱坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出α，β的正弦與余弦值，再由二倍角公式可求出β2的正弦與余弦值，進(jìn)而可求得其正切值，最后根據(jù)兩角和與差的正切公式可得到答案.

解析：∵是單位圓∴半徑r=1，∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為513、45.又α、β為銳角.∴A、B兩點(diǎn)在第一象限.

∴yA=1213，yB=35，∴sinα=1213，sinβ=35，

cosα=513，cosβ=45，

又∵cosβ=2cos2β2-1=45，∴cosβ2=31010，sinβ2=1010

∴tanα=125，tanβ2=13，tan（α+β2）=tanα+tanβ21-tanαtanβ2=125+131-125×13=413.

故答案為：413.

點(diǎn)評：本題主要考查已知角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的問題.考查基礎(chǔ)知識的簡單應(yīng)用和計(jì)算能力.高考對三角函數(shù)的考查以基礎(chǔ)題為主，平時(shí)要注意基礎(chǔ)知識的積累.

二、三角函數(shù)的化簡

化簡目標(biāo)：項(xiàng)數(shù)盡量少，次數(shù)盡量低，盡量不含分母和根號，化簡基本方法：用公式；異角化同角；異名化同名；化切割為弦；特殊值與特殊角的三角函數(shù)值互化.

例3 化簡（1）：（1tanθ2-tanθ2）2·（1-2tanθ·1tan2θ）=_________.

（2）2cos4x-2cos2x+122tan（π4-x）sin2（π4+x）.

分析：解決（1）把要求的式子利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行切化弦，再利用二倍角公式化簡求得結(jié)果.解決（2）先通過降冪，逆用二倍角公式達(dá)到解決問題的目的.

解析：（1） （1tanθ2-tanθ2）2·（1-2tanθ·1tan2θ）=（cosθ2sinθ2-sinθ2cosθ2）2·（1-2sinθcosθ·cos2θsin2θ）

=（2cosθsinθ）2（1-cos2θcos2θ）

=4cos2θsin2θ×cos2θ-（cos2θ-sin2θ）cos2θ

=4cos2θsin2θ×sin2θcos2θ=4

故答案為 4.

（2）原式=12（4cos4x-4cos2x+1）2·sin（π4-x）cos（π4-x）·cos2（π4-x）

=（2cos2x-1）24sin（π4-x）cos（π4-x）

=cos22x2sin（π2-2x）=cos22x2cos2x=12cos2x.

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，式子的變形，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.如果按公式形式從右往左用，這就是公式的“逆用”.如逆用二倍角，就是“降次”，將正、余弦的二次式化為一次式是“降次”.

三、三角函數(shù)的證明

條件等式的證明關(guān)鍵在于分析已知條件與求證結(jié)論之間的區(qū)別與聯(lián)系，證明的方法是化繁為簡；左右歸一；變更命題.證明都要注意：（1）角度的特點(diǎn)；（2）函數(shù)名的特點(diǎn)；（3）化切為弦是常用手段；（4）升降冪公式的靈活應(yīng)用.

例4 設(shè)α，β為銳角，且sin2α+sin2β=sin（α+β），求證α+β=π2.

解析：由α，β為銳角知cos（α-β）>0，因?yàn)?/p>

sin（α+β）=1-cos2α2+1-cos2β2

=1-12（cos2α+cos2β）

=1-cos（α+β）cos（α-β）

而0

0≤cos（α+β）cos（α-β）<1

又cos（α-β）>0得cos（α+β）≥0，

∴0<α+β≤π2，

即0≤|α-β|<α+β≤π2

0≤cos（α+β）

所以0≤sin（α+β）<1-cos2（α+β）=sin2（α+β）

即1≤sin（α+β），又∵sin（α+β）≤1

∴只能1=sin（α+β），故α+β=π2.

點(diǎn)評：解決本題處理利用三角函數(shù)變換中角的變換外，還要注意利用不等關(guān)系得到1≤sin（α+β）≤1，從而sin（α+β）=1問題解決.化簡或證明變形時(shí)主要考慮方法：“異名化同名，異角化同角.”“公式的正用、逆用、變形用.

例5 已知sin（2α+β）+2sinβ=0， 求證：tanα=3tan（α+β）.

分析：觀察等式兩端的特點(diǎn)及差異，從解決某一差異入手，通過“一致變形”，應(yīng)用化繁為簡，左右歸一的思想方法，使等式兩端“異”化“同”.：“一致變形”是指：化 “異角”、“異名”、“異次”為“同角”、“同名”、“同次”的嘗試思路

證明：∵由已知得sin[（α+β）+α]+2sin[（α+β）-α]=0

∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα+2cosαsin（α+β）-2sinαcos（α+β）=0

∴3sin（α+β）cosα-sinαcos（α+β）=0

∴3sin（α+β）cosα=sinαcos（α+β）

∴3sin（α+β）cos（α+β）=sinαcosα即tanα=3tan（α+β）

點(diǎn)評：條件等式的證明，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式之間的關(guān)系.這里發(fā)現(xiàn)不僅需要觀察，還需要嘗試變形，通過“化異為同”、“求同存異”的一致變形，就有希望達(dá)到運(yùn)用條件，證明出結(jié)論的目的.