平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用

平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算， 也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，它與解三角形、函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)緊密相連，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)能力的良好題材.因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，既有長(zhǎng)度又有方向，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何的最佳結(jié)合點(diǎn)，能有效的將幾何問(wèn)題代數(shù)化，很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.下面我們主要探討數(shù)量積的求法及一些應(yīng)用.

一、線性代換

例1 如圖，在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，則AC·AD=_________.

思路點(diǎn)撥：從題設(shè)發(fā)現(xiàn)，AC需要進(jìn)行代換，題設(shè)更多圍繞著AB和AD，故選擇以AB，AD作為基底進(jìn)行代換.

代換途徑1：AC·AD=（AD+DC）·AD=AD2+DC·AD=AD2+（（3-1）BD）·AD=AD2+（3-1）（BD·AD）=AD2+（3-1）[（AD-AB）·AD]=AD2+（3-1）AD2=3AD2=3.

代換途徑2：AC·AD=（AB+BC）·AD=BC·AD=（3BD）·AD=3（BD·AD）=3（（AD-AB）·AD）=3（AD2-AB·AD）=3AD2=3.

點(diǎn)評(píng)：線性代換的原則是將未知向量（題設(shè)中未知其大小，方向的向量）代換成已知向量（題設(shè)條件圍繞的兩個(gè)不共線向量，通常已知它們的大小，夾角等等）.比較上述兩種代換途徑，在解決數(shù)量積的過(guò)程中，垂直條件優(yōu)先使用會(huì)使得問(wèn)題變得清晰，簡(jiǎn)單.

變式 如圖所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則AD·BC的取值范圍是_________ .

思路點(diǎn)撥：AD與BC都隨著點(diǎn)D的移動(dòng)而變化，結(jié)合題設(shè)，可選擇AB，AC作為基底，顯然BC=AC-AB；根據(jù)B，D，C三點(diǎn)共線，可知AD=tAB+（1-t）AC，其中0≤t≤1.

AD·BC=（tAB+（1-t）AC）·（AC-AB）=（2t-1）（AB·AC）-tAB2+（1-t）AC2=-7t+2，又0≤t≤1，所以AD·BC的范圍是[-5，2].

點(diǎn)評(píng)：若A，B，C三點(diǎn)共線，O為該直線外一點(diǎn)，則OC=tOA+（1-t）OB.該結(jié)論是使用線性代換的常用結(jié)論.

二、建立直角坐標(biāo)系

例2 如圖，AB是圓O的直徑，C，D是上半圓弧AB的三等分點(diǎn)，M，N是線段AB的三等分點(diǎn)，若OA=6，則MD·NC=______.

思路點(diǎn)撥：圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，可以對(duì)其建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)求數(shù)量積是常用方法.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，連結(jié)OC，OD，易得，M（-2，0），N（2，0），C（3，33），D（-3，33），則MD=（-1，33），NC=（1，33），從而MD·NC=26.

點(diǎn)評(píng)：直角三角形，矩形，直角梯形，圓等規(guī)則圖形中，一般都可以使用建立直角坐標(biāo)系的方法將向量坐標(biāo)化，利用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量問(wèn)題.

解析：本題也可以用向量線性代換解決，解法如下：

連結(jié)OC，OD.

MD·NC=（MO+OD）·（NO+OC）=MO·NO+MO·OC+OD·NO+OD·OC=2×2×（-1）+2×6×12+2×6×12+6×6×12=26.

點(diǎn)評(píng)：將向量數(shù)量積坐標(biāo)化，可以與函數(shù)類問(wèn)題銜接成綜合問(wèn)題，是考查中的熱點(diǎn)，需要學(xué)生重視.

三、特殊值

例3 如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，M為CD的中點(diǎn)，AP⊥BD，垂足為P，AP=3，則AP·OM=_________.

思路點(diǎn)撥：根據(jù)題設(shè)可觀察到，該平行四邊形未完全確定形狀，而所求AP·OM為定值，故可以將該平行四邊形特殊化為正方形.

當(dāng)平行四邊形為正方形時(shí)，P與O重合，正方形邊長(zhǎng)為32，從而AP·OM=AO·OM=3×322×cos45°=92.

點(diǎn)評(píng)：將圖形特殊化，問(wèn)題特殊化是學(xué)習(xí)過(guò)程中非常重要的一個(gè)思想方法，它體現(xiàn)了我們化繁為簡(jiǎn)的能力，特殊化在解決向量問(wèn)題中也是一個(gè)非常重要的方法.

注：本題常規(guī)思路，通過(guò)向量代換解決如下：

AP·OM=AP·[12（OC+OD）]=12AP·OC=12AP·AO=12AP·（AP+PO）=12AP2=92.

變式 如圖，在平面四邊形ABCD中，若AC=3， BD=2，則（AB+DC）·（AC+BD）=_________.

思路點(diǎn)撥：直接觀察圖形，結(jié)合題設(shè)僅有的兩個(gè)長(zhǎng)度，可以將該四邊形特殊為菱形，根據(jù)規(guī)則圖形可考慮建立直角坐標(biāo)系，問(wèn)題得到解決.

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（-32，0），B（0，-1），C（32，0），D（0，1），可得AB=DC=（32，-1），AC=（3，0），BD=（0，2），AB+DC=（3，-2），AC+BD=（3，2），所以（AB+DC）·（AC+BD）=5.

點(diǎn)評(píng)：特殊法結(jié)合建立直角坐標(biāo)系法可以有效地降低問(wèn)題的難度，減少思維量，在解決平面向量問(wèn)題中給人耳目一新的感覺，是一個(gè)比較好的方法.

四、構(gòu)造數(shù)量積

例4 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng).若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是_________.

思路點(diǎn)撥：該圖形是一個(gè)規(guī)則圖形，可以考慮建立直角坐標(biāo)系用向量的坐標(biāo)來(lái)解決問(wèn)題，注意到題設(shè)中涉及的兩個(gè)向量是已知長(zhǎng)度和夾角的，本題也可以考慮用構(gòu)造數(shù)量積的方法解決.

解：（利用|OC|=1）：由|OC|=1得OC2=1，即（xOA+yOB）2=1，整理得，x2+y2-xy=1，從而有（x+y）2=1+3xy，結(jié)合不等式xy≤（x+y2）2可得，（x+y）2=1+3xy≤1+3（x+y2）2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).所以，（x+y）2≤4，

（x+y）max=2.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造數(shù)量積可以將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式，它是一種常見的轉(zhuǎn)化方法.

五、綜合應(yīng)用

例5 已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則|c|的最大值是_________.

思路點(diǎn)撥：本題可以直接利用數(shù)量積的定義將等量關(guān)系直接簡(jiǎn)化，也可以考慮該等量關(guān)系的幾何意義.另外，根據(jù)題設(shè)a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，還可以考慮建立直角坐標(biāo)系，并將a、b的坐標(biāo)確定，從而（a-c）·（b-c）=0可通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算簡(jiǎn)化.

解：由（a-c）·（b-c）=0得，a·b-（a+b）·c+c2=0，即c2=（a+b）·c，c2=|a+b|·|c|cos<（a+b，c）>，化簡(jiǎn)得，|c|=|a+b|cos<（a+b，c）>=2cos<（a+b，c）>，所以，|c|max=2.

點(diǎn)評(píng)：平面向量的數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，幾何意義三者融合在一起，才能將數(shù)量積完整的理解并應(yīng)用.

平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用是一個(gè)難點(diǎn)，其主要與函數(shù)，三角形，三角函數(shù)，平面解析幾何等知識(shí)綜合在一起.要想突破這一難點(diǎn)，首先夯實(shí)基礎(chǔ)是關(guān)鍵，真正把握平面向量及其相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)；其次，要不斷總結(jié)常規(guī)方法，常規(guī)思路，如定義法，幾何意義，坐標(biāo)法，向量代換法，構(gòu)造數(shù)量積，特殊值法等等；最后要增強(qiáng)解題能力，打開思維，不斷創(chuàng)新，提升自己解決綜合交匯問(wèn)題的能力.

（作者：沈世金，江蘇省石莊中學(xué)）