“火眼精心”識(shí)“平面向量”

在平面向量學(xué)習(xí)中，有時(shí)會(huì)遇到一些似是而非的問題，此類問題往往是由于對(duì)某些概念或公式的理解上有模糊認(rèn)識(shí)，從而造成一些表面看起來正確而實(shí)際上錯(cuò)誤的判斷，使我們的解題思維陷入一個(gè)個(gè)誤區(qū).同學(xué)們學(xué)習(xí)向量時(shí)常常在向量的定義、向量共線、向量夾角、向量的數(shù)量積等方面出錯(cuò).以下將常見錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，以便同學(xué)們?cè)诮膺@類問題時(shí)能夠突破這些誤區(qū).

一、正確理解向量定義

例1 判斷下列命題是否正確

（1）向量的大小是實(shí)數(shù)；

（2）向量可以用有向線段表示；

（3）向量就是有向線段；

（4）向量AB的長(zhǎng)度與向量BA的長(zhǎng)度相等.

錯(cuò)解：誤選（3）或漏選（2）.

錯(cuò)因分析：由向量的定義可知向量是既有大小又有方向的量，向量可以用有向線段來表示，有向線段的長(zhǎng)度即為向量的大小，有向線段的方向即為向量的方向，但是向量與有向線段是兩個(gè)不同的概念.

正解：（1）（2）（4）.

二、理清向量基底的概念

例2 判斷下列說法是否正確

（1）在三角形ABC中，向量AB、AC可以作為基底；

（2）在平行四邊形ABCD中，向量AB、AC可以作為基底，但向量AB、CD不能作為基底；

（3）能夠表示一個(gè)平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的；

（4）零向量不能作為基底.

錯(cuò)解：誤選（3）或漏選（2）.

錯(cuò)因分析：平面向量的基底是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，且一個(gè)平面向量的基底不唯一，平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底.

正解：正確的是（1）（2）（4）.

三、全面考慮向量共線問題

例3 下列說法正確的是_________.

（1）單位向量都相等；

（2）若向量a、b是共線向量，向量c、b是共線向量，則向量a、c也是共線向量；

（3）若向量a=b，b=c，則a=c；

（4）若|a|=|b|，則向量a與b共線.

錯(cuò)解：誤選（2）.

錯(cuò)因分析：向量共線時(shí)要考慮零向量，若向量b為零向量，則向量a與向量c不一定共線.

正解：（3）.

例4 已知向量a=（5，12），則與向量a共線的單位向量為_________.

誤解：（513，1213）.

錯(cuò)因分析：向量共線可以同向也可以反向還可以為零向量.

正解：（513，1213），（-513，-1213）.

四、弄清向量數(shù)量積的運(yùn)算與數(shù)乘的區(qū)別

例5 設(shè)向量a、b、c是任意非零向量且相互不共線，下列命題正確的是_______.

（1）（a·b）c-（c·a）b=0；

（2）|a|-|b|<|a-b|；

（3）（b·c）a-（a·c）b一定與向量c垂直；

（4）（3a+4b）（3a-4b）=9|a|2-16|b|2；

（5）若a·b=a·c，則b=c.

誤解：誤選（1）（5）及漏選（3）.

錯(cuò)因分析：對(duì)向量的運(yùn)算律掌握不準(zhǔn)確.（1）中是與向量c共線的向量及與向量b共線的向量的差，其結(jié)果不一定是零向量；（5）中還有可能是a⊥（b-c）.

正解：（2）（3）（4）.

例6 已知a，b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角.

錯(cuò)解：因?yàn)閍+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，

所以（a+3b）·（7a-5b）=0

（a-4b）·（7a-2b）=0

即7a2+16a·b-15b2=0

7a2-30a·b+8b2=0

所以2a·b=b2，則2a=b，從而2|a|=|b|，

所以cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|=12b212|b|2=1，

又0≤〈a，b〉≤π，

則〈a，b〉=0.

錯(cuò)因分析：由2a·b=b2得2a=b，不一定成立，這是數(shù)乘與向量數(shù)量積的區(qū)別.

正解：因?yàn)閍+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，

所以（a+3b）·（7a-5b）=0

（a-4b）·（7a-2b）=0

即7a2+16a·b-15b2=0

7a2-30a·b+8b2=0

所以2a·b=b2，再代入上式得a2=b2，即|a|=|b|，

所以cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|=12b2|b|2=12，又0≤〈a，b〉≤π，

則〈a，b〉=π3.

五、注意向量的夾角問題的嚴(yán)謹(jǐn)性

例7 已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，則

AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于_______.

錯(cuò)解：△ABC中，由余弦定理得：cosA=|AB|2+|CA|2-|BC|22|AB|·|CA|=9+25-162×3×5=35，

cosB=|AB|2+|BC|2-|CA|22|AB|·|BC|=9+16-252×3×4=0，

cosC=|BC|2+|CA|2-|AB|22|BC|·|CA|=16+25-92×4×5=45，

AB·BC=|AB|·|BC|cosB=3×4×0=0，

BC·CA=|BC|·|CA|cosC=4×5×45=16，

AB·CA=|AB|·|CA|cosA=3×5×35=9，

所以，原式=0+16+9=25.

錯(cuò)因分析：向量AB與BC夾角與三角形內(nèi)角B不是同一個(gè)角而是互為補(bǔ)角.

正解：同前可得：cosA=35， cosB=0， cosC=45，

AB·BC=|AB|·|BC|cos（π-B）=-|AB|·|BC|cosB=-3×4×0=0，

BC·CA=|BC|·|CA|cos（π-C）=-|BC|·|CA|cosC=-4×5×45=-16

AB·CA=|AB|·|CA|cos（π-A）=-|AB|·|CA|cosA=-3×5×35=-9

所以，原式=0+（-16）+（-9）=-25.

例8 設(shè)向量a=（x，3），b=（2，-1），若a與b的夾角為鈍角，求x的取值范圍.

誤解：因?yàn)閍=（x，3），b=（2，-1），因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，得2x-3<0，x<32.

錯(cuò)因分析：向量a、b夾角為鈍角與a·b<0不等價(jià)，a·b<0包括a、b夾角為鈍角和a、b夾角為π兩種情況.

正解：當(dāng)向量a、b共線時(shí)x2=3-1，x=-6，所以當(dāng)x<32且x≠-6時(shí)，a與b的夾角為鈍角.

六、注意向量運(yùn)算問題的全面性

例9 三角形ABC中，設(shè)AB=（2，3），AC=（1，k），且三角形ABC是直角三角形，求k的值.

錯(cuò)解：因?yàn)槿切蜛BC是直角三角形，所以AB·AC=0，k=-23.

錯(cuò)因分析：三角形ABC為直角三角形包括A=π2或B=π2或C=π2三種情況.

正解：三角形ABC中，設(shè)AB=（2，3），AC=（1，k） 所以BC=AC-AB=（-1，k-3），

若角A為直角則AB·AC=0，k=-23，

若角B為直角則AB·BC=0，-2+3（k-3）=0 k=113，

若C為直角則AC·BC=0，-1+k（k-3）=0

k=3±132，

綜上得k=-23或k=113或k=3±132時(shí)三角形ABC為直角三角形.

在平面向量的學(xué)習(xí)過程中，既要區(qū)分向量運(yùn)算和數(shù)量運(yùn)算，又要能準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)量積處理長(zhǎng)度、角度等問題，還應(yīng)關(guān)注向量夾角的范圍、向量共線及垂直的充要條件等等.總之，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)與平面向量時(shí)既要注重基礎(chǔ)，又要關(guān)注細(xì)節(jié)，特別是注意一些易錯(cuò)點(diǎn)，才能在學(xué)習(xí)過程中少犯錯(cuò)甚至不犯錯(cuò)，取得更加理想的學(xué)習(xí)效果.

（作者：殷高榮，如皋市教育局教研室）