遵循命題規(guī)律 開展有效復(fù)習(xí)

三角函數(shù)和平面向量這兩部分內(nèi)容不僅互相滲透，它們也和其它數(shù)學(xué)分支進(jìn)行融合，成為解決數(shù)學(xué)問題的工具，因此歷年來它們都是高考的的重點(diǎn)內(nèi)容.

一、三角函數(shù)

三角函數(shù)除了具有一般函數(shù)的各種性質(zhì)外，它的周期性和獨(dú)特的對(duì)稱性，再加上系統(tǒng)的豐富的三角公式，使其產(chǎn)生的各種問題豐富多彩，層次分明，變化多端，圍繞三角函數(shù)的考題總是以新穎的形式出現(xiàn)，在高考試題中占據(jù)重要的位置，成為高考命題的熱點(diǎn).近幾年來高考從三角函數(shù)的圖象、周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值、求值及綜合應(yīng)用等各個(gè)方面全面考查三角知識(shí).在難度方面來說，它的大題在高考試卷中的位置一般在前面的第一或第二道，屬容易題，從得分策略來說，這是不應(yīng)失分的兵家必爭(zhēng)之地.

1.1考題分析

江蘇高考關(guān)于三角函數(shù)的命題有如下幾個(gè)特點(diǎn)：

【考察的題型與分值】 三角函數(shù)的試題一般是一到兩個(gè)小題和一個(gè)解答題，屬常規(guī)題型，三角函數(shù)解答題，大都處在解答題第一題位置，三角部分的分值平均在24分左右.

【考察的難易程度】 三角函數(shù)解答題一般都為基礎(chǔ)題、中檔題，試題難度不大，且易出現(xiàn)課本中習(xí)題與例題的變式與組合.

【考察的熱點(diǎn)】 其一是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；其二是通過三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求值；其三是利用正弦定理、余弦定理解決有關(guān)度量問題.

1.2復(fù)習(xí)策略

策略一、明確考點(diǎn)要求及其注意點(diǎn)

1.在已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并對(duì)不同的象限分別求出相應(yīng)的值，在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、求值時(shí)，應(yīng)注意公式中符號(hào)的選取.

例1 已知α∈（0，π），sinα+cosα=713求tanα的值.

解：據(jù)已知sinα+cosα=713（1），有2sinαcosα=-120169<0，又由于α∈（0，π），故有sinα>0，cosα<0，從而sinα-cosα>0，即sinα-cosα=1-2sinαcosα=1713（2），聯(lián)立（1）（2）可得sinα=1213，cosα=-513，可得tanα=-125.

2.要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，或者換元后成為一個(gè)初等函數(shù)式（換元后注意定義域的確定），進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等，對(duì)函數(shù)式作恒等變形時(shí)需特別注意保持定義域的不變性，常見的有：

①y=asinx+bcosx型可化為y=a2+b2sin（x+φ）；

②y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型可通過降次整理化為y=Asin2x+Bcos2x；

③y=asin2x+bcosx+c型可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；

④sinxcosx與sinx+cosx（或sinx-cosx）同時(shí)存在型可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù).

3.研究三角函數(shù)的單調(diào)性要注意

（1）函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來比較大??；

（2）形如y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，基本思路是把ωx+φ看成一個(gè)整體，由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ（k∈Z）求得函數(shù)的增區(qū)間，由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ（k∈Z）求得函數(shù)的減區(qū)間；形如y=Asin（-ωx+φ）（A>0，ω>0）的函數(shù)，可先利用誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)化為正數(shù)，得到y(tǒng)=-Asin（ωx-φ），再求單調(diào)區(qū)間.

例2 函數(shù)y=sin（-2x+π3）的遞減區(qū)間是______________.

解：y=sin（-2x+π3）=-sin（2x-π3），求y=-sin（2x-π3）的單調(diào)減區(qū)間，也就是求

y=sin（2x-π3）的單調(diào)增區(qū)間，由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2，得kπ-π12≤x≤kπ+5π12（k∈Z）.故所求遞減區(qū)間為[kπ-π12，kπ+5π12]（k∈Z）.

4.關(guān)于三角函數(shù)的對(duì)稱性和周期性問題，其解題關(guān)鍵是：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與y=Acos（ωx+φ）的對(duì)稱軸和最值對(duì)應(yīng)，對(duì)稱點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)應(yīng).

例3 如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=-π8對(duì)稱，那么a等于______________.

解：（法一）函數(shù)的解析式可化為y=a2+1sin（2x+φ），故|y|的最大值為a2+1，依題意，直線x=-π8是函數(shù)的對(duì)稱軸，則它通過函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)即|sin（-π4）+acos（-π4）|=a2+1，解得a=-1.

（法二）若函數(shù)關(guān)于直線x=-π8是函數(shù)的對(duì)稱則必有f（0）=f（-π4），代入即得a=-1.

5.要能熟練進(jìn)行圖象間的變換.

例4 要得到函數(shù)y=sin（2x-π3）的圖象，只需將函數(shù)y=sin12x的圖象如何變化？

解：由y=sin12x變形為y=sin（2x-π3）常見有兩種變換方式，一種先進(jìn)行周期變換，即將y=sin12x的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?4倍得到函數(shù)y=sin2x的圖象，再將函數(shù)y=sin2x的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移π6單位，即得y=sin（2x-π3）的圖像；或者先進(jìn)行相位變換，即將y=sin12x的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移2π3個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin12（x-2π3）=sin（12x-π3）的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?4倍即得函數(shù)y=sin（2x-π3）的圖象.

6.熟悉公式的記憶和運(yùn)用.

（1）誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限；

（2）兩角和差的正弦、余弦、正切公式的正面運(yùn)用和逆用；

（3）倍角公式以及變形，體會(huì)降冪的意圖；

【提醒】 一些常見的變形技巧：（1）化切為弦；（2）遇公因式提取公因式；（3）湊角（不要盲目用一些公式展開，關(guān)鍵是看已知角和所求角有沒有特殊關(guān)系，比如相差180°，90°等）

7.關(guān)注三角函數(shù)在三角形中的應(yīng)用，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)尋找邊角關(guān)系，要特別重視正弦定理和余弦定理在解三角形中的計(jì)算，掌握三角形面積公式的多種計(jì)算方法.

例5 在△ABC中，B=30°，AB=23，AC=2，求△ABC的面積.

解：根據(jù)正弦定理知：ABsinC=ACsinB即23sinC=2sin30°得sinC=32，由于ABsin30°

策略二、重視分析能力的培養(yǎng)與提升

我們學(xué)生普遍存在以下兩個(gè)現(xiàn)象：一是模仿解題，缺少自己決定解題策略的習(xí)慣；二是喜歡看解題過程，不愿動(dòng)筆，長(zhǎng)此以往，“宰熟沒問題，殺生缺辦法”，即遇到熟悉的問題尚能應(yīng)付，碰到新穎、陌生的題目便束手無策.

以2012年江蘇高考第11題為例，題目是：設(shè)α為銳角，若cos（α+π6）=45，則sin（2α+π12）的值為______________.很多考生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，覺得應(yīng)該用二倍角公式，但2α+π12又不是α+π6的兩倍，已有的經(jīng)驗(yàn)用不上了，一籌莫展，只能“放棄投降”了.

解題活動(dòng)長(zhǎng)話短說，就是九個(gè)字：“有什么？做什么？怎么做？”，對(duì)于本題，“做什么？”十分清楚，那有什么呢？①α為銳角；②cos（α+π6）=45，由此我們還能知道什么呢？由cos（α+π6）=45能解出sinα，cosα；由cos（α+π6）=45也可解出sin（α+π6）=35.到底怎么求sin（2α+π12）呢？方法一：求出sin2α，cos2α，再計(jì)算sin（2α+π12）；方法二：尋找2α+π12與α+π6的關(guān)系，2α+π12雖然不是α+π6的兩倍，但它們不是一點(diǎn)關(guān)系也沒有，比如按下面線路：α+π6×22α+π3-π/42α+π12就能方便地求出結(jié)果.另外我們還可用換元法進(jìn)行一般性處理：令α+π6=β，則α=β-π6，則2α+π12=2β-π4.

由此可見，學(xué)會(huì)分析、思考，才能以不變應(yīng)萬變，才能在高考中立于不敗之地.

二、平面向量

平面向量的核心思想是數(shù)形結(jié)合，把幾何意義用簡(jiǎn)潔的向量形式表示出來，用向量的運(yùn)算去進(jìn)行幾何性質(zhì)的推斷；反過來，要會(huì)從向量的形式去解讀出幾何意義.江蘇高考的重點(diǎn)在于有關(guān)向量的概念和運(yùn)算的考查，注重向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算的選取，適當(dāng)?shù)嘏c平面幾何和解析幾何的知識(shí)相結(jié)合，解決一些簡(jiǎn)單的幾何問題.

2.1復(fù)習(xí)建議

1.透徹理解向量的概念.向量概念的兩大要素“方向和長(zhǎng)度”，使向量既有“形”又有“數(shù)”的特征，既聯(lián)系幾何又聯(lián)系代數(shù)，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合的重要載體，要抱著這樣的觀點(diǎn)去復(fù)習(xí)向量知識(shí)，解決向量問題.

例6 已知向量OB=（2，0），OC=（0，2），CA=（3cosA，3sinA），則OA與OB夾角的范圍是______________.

【解析】 如圖，點(diǎn)A的軌跡為以點(diǎn)C為圓心，3為半徑的圓，過圓點(diǎn)作圓的兩條切

線OA1， OA2 ， ∠COA1=60°，則此兩條切線的傾斜角分別為30°， 150°，故答案為 [π6，5π6].

2.向量的數(shù)量積運(yùn)算是平面向量的重要內(nèi)容，它與實(shí)數(shù)之間積的運(yùn)算既有區(qū)別又聯(lián)系，要辨別清楚；向量的數(shù)量積運(yùn)算是采取幾何運(yùn)算公式還是坐標(biāo)運(yùn)算公式，要甄別清楚，兩個(gè)公式同時(shí)運(yùn)用，又可構(gòu)造出一個(gè)等式；要會(huì)靈活應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求向量的模和兩點(diǎn)間的距離.

例7 （1）設(shè)向量a=（cos71°，sin71°），b=（cos20°，sin20°），試分別運(yùn)用平面向量的數(shù)量積

公式a·b=|a||b|cosθ和a·b=x1x2+y1y2寫出a·b=0的兩種形式的結(jié)果以及你得到的一個(gè)等式；

（2）利用（1）的想法，試借助單位圓和平面向量知識(shí)證明兩角差的余弦公式：

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.（取0<β<α<π）

解：（1）因?yàn)閍=（cos71°，sin71°），b=（cos20°，sin20°），

所以a·b=|a||b|cosθ=1×1×cos（71°-20°）=cos（71°-20°）；

a·b=x1x2+y1y2=cos71°cos20°+sin71°sin20°.

于是cos（71°-20°）=cos71°cos20°+sin71°sin20°.

（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊分別作角α，β，

其終邊分別與單位圓交于P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），

則∠P1OP2=α-β.

設(shè)向量a=OP1=（cosα，sinα），b=OP2=（cosβ，sinβ），

則a·b=|a||b|cos（α-β）=cos（α-β），

另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，

所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

3.熟練掌握解決向量問題的三大“利器”：坐標(biāo)系、平面向量基本定理、數(shù)量積公式.2012年江蘇高考的第9題就很好地詮釋了這個(gè)觀點(diǎn).題目是這樣的：如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB·AF=2，則AE·BF的值是______________.

【分析】 根據(jù)要求：求AE·BF，故而直接用數(shù)量積公式處理.

解：由AB·AF=2，得AB·AF=|AB||AF|cos∠FAB=2，

所以DF=|AF|cos∠FAB=1，所以CF=2-1，

記AE和BF之間的夾角為θ，∠AEB=α，∠FBC=β，則θ=α+β

所以AE·BF=|AE||BF|cos（α+β）=3×7-32×cos（α+β）

=3×7-32×（cosαcosβ-sinαsinβ）

=3×7-32×（13×27-32-23×2-17-32）=2.

4.要把平面幾何的性質(zhì)、定理遷移到平面向量來，使得平面向量的幾何推導(dǎo)成為可能.如：

例8 O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|），λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的 心.

【解析】 因?yàn)锳B|AB|、AC|AC|分別為AB、AC方向上的單位向量，所以AB|AB|+AC|AC|為∠BAC的角平分線方向上的向量，故答案為內(nèi)心.

三角函數(shù)和平面向量作為高中數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要分支，雖然內(nèi)容繁雜，但只要我們用心復(fù)習(xí)，把基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能練扎實(shí)，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、分析、總結(jié)，2013年高考一定會(huì)馬到成功.

（作者：夏志勇，海安縣曲塘中學(xué)）