平面向量、三角函數(shù)重點知識梳理及典例分析

一、平面向量基礎(chǔ)知識提煉

1.向量的概念（能級要求：B）：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.

①零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；

②單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是±AB|AB|）；

③相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

④平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，

記作：a∥b，規(guī)定：零向量和任何向量平行.

⑤相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是-a.

2.向量的加減法及數(shù)乘運算（能級要求：B）

（1）向量加法減法

幾何運算：加法利用“平行四邊形法則”和“三角形法則”進行；

符號運算：AB+BC=AC和AB=OB-OA

坐標運算：設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a±b=（x1±x2，y1±y2）.

（2）實數(shù)與向量的積：

實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：

（1）|λa|=|λ||a|，（2）當λ>0時，λa的方向與a的方向相同，當λ<0時，λa的方向與a的方向相反，當λ=0時，λa=0，注意：λa≠0.

3.向量的坐標表示（能級要求：B）：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a=xi+yj=（x，y），稱（x，y）為向量a的坐標，a=（x，y）叫做向量a的坐標表示.

如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.

4.平面向量的數(shù)量積（能級要求：C）：

（1）兩個向量的夾角：對于非零向量a，b，作OA=a，OB=b，∠AOB=θ（0≤θ≤π）稱為向量a，b的夾角（必須在同一起點），當θ=0時，a，b同向，當θ=π時，a，b反向，當θ=π2時，a，b垂直.

（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：a·b，即a·b=|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量.

（3）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a，b，其夾角為θ，則：

①a⊥ba·b=0；

②當a，b同向時，a·b=|a||b|，特別地，a2=a·a=|a|2，a2=|a|；

當a與b反向時，a·b=-|a||b|；

當θ為銳角時，a·b>0，且a、b不同向，a·b>0是θ為銳角的必要非充分條件；

當θ為鈍角時，a·b<0，且a、b不反向，a·b<0是θ為鈍角的必要非充分條件；

③非零向量a，b夾角θ的計算公式：cosθ=a·b|a||b|；

5.平面向量的平行和垂直（能級要求：B）

設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則

非空向量平行（共線）的充要條件：a∥ba=λb（a·b）2=（|a||b|）2x1y2-y1x2=0.

向量垂直的充要條件：a⊥ba·b=0|a+b|=|a-b| x1x2+y1y2=0

二、三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形基礎(chǔ)知識剖析

1.三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)線（能級要求：B）：

三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān).

三角函數(shù)線的重要應(yīng)用：①比較三角函數(shù)值的大小；②解三角不等式；③圓的參數(shù)方程.

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（能級要求：B）：

（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1，（2）商數(shù)關(guān)系： tanα=sinαcosα.

主要應(yīng)用：①已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值，②化簡，③證明恒等式.

3.三角函數(shù)誘導公式（能級要求：B）：

（k2π+α）的本質(zhì)是奇變偶不變（對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把α看成是銳角）.誘導公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2kπ+α，0≤α<2π；（2）轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（能級要求：B）：

通過圖像來研究三個三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

5.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)（能級要求：A）：

（1）幾個物理量：A—振幅；f=1T—頻率（周期的倒數(shù)）；ωx+φ—相位；φ—初相；

（2）表達式的確定：A由最值確定， ω 由周期確定， φ由圖象上的特殊點確定.

（3）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖象與y=sinx圖象間的關(guān)系.

6.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式（能級要求：C）：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ令α=βsin2α=2sinαcosα

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ令α=βcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αcos2α=1+cos2α2

sin2α=1-cos2α2

tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ

令α=β tan2α=2tanα1-tan2α

7.三角形中的有關(guān)公式（能級要求：B）：

（1）正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R（R為三角形外接圓的半徑）.

（2）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，cosA=b2+c2-a22bc等，

（3）面積公式：S=12aha=12absinC=12r（a+b+c）（其中r為三角形內(nèi)切圓半徑）.

（4）解三角形的類型：①已知兩角和一邊（正弦定理）；②已知三邊a、b、c（余弦定理）；③已知兩邊和夾角（如a、b、C），用余弦定理求c邊；再用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C=π，求另一角.④已知兩邊和其中一邊的對角：若運用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解的情況.

注：知識點中的能級要求來自《2012年高考數(shù)學考試說明》，其中A級為了解，B級為理解，C級為掌握.

三、典例分析

例1 下列命題中：① a·（b-c）=a·b-a·c；② a·（b·c）=（a·b）·c；

③ （a-b）2=|a|2-2|a|·|b|+|b|2；④ 若a·b=0，則a=0或b=0；

⑤若a·b=c·b，則a=c；⑥|a|2=a2；⑦a·ba2=ba；⑧（a·b）2=a2·b2；⑨（a-b）2=a2-2a·b+b2.其中正確的是

解析：正確命題的序號為①⑥⑨

注：本題考查的是向量的運算法則，要注意與實數(shù)的運算法則區(qū)別開來.

例2 如圖在等腰直角△ABC中，點P是斜邊BC的中點，過點P的直線分別交直A線AB、AC于不同的兩點M、N，若ABAM=m，ACAN=n，求mn的最大值.

解析：AP=12AB+12AC=12mAM+12nAN，

因為M、P、N三點共線，故12m+12n=1，即m+n=2，

∴mn≤（m+n2）2=1，當且僅當m=n=1時取等號.

注：本題考查的是向量共線定理和向量的表示，最后與不等式的最值，綜合求解.

例3 已知點P在△ABC所在的平面內(nèi)，若2PA+3PB+4PC=3AB，則△PAB與△PBC的面積之比是 ；

解析：∵2PA+3PB+4PC=3AB∴2PA+4PC=3（AB+BP）=3AP，

即得4PC=5AP，故點P在線段AC上且4|PC|=5|AP|，

則△PAB與△PBC的面積之比是4∶5.

注：本題考查的是向量的符號運算與線性表示.

例4 如圖放置的邊長為1的正方形DEFG的頂點D，G分別在Rt△ABC的兩直角邊所在的直線上滑動，則CE·CF的最大值是

解析：CE·CF=（CD+DE）·（CG+GF）

=CD·CG+CD·GF+DE·CG+DE·GF

=0+CD·GF+DE·CG+1

=0+CD·DE+DE·CG+1=DE·（CD+CG）+1取DG的中點M，則

=2DE·CM+1=2|DE|·|CM|cosα+1=cosα+1≤2.

當DE、CM同向時取“=”.

注：因為數(shù)量積是C級要求，所以與數(shù)量積有關(guān)的問題難度往往較大.本題考查的是向量數(shù)量積的計算，轉(zhuǎn)化成已知基底的運算.

例5 已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m=（a，b），

n=（sinB，sinA），p=（b-2，a-2）.

（1）若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；

（2）若m⊥p，邊長c=2，角C=π3，求△ABC的面積.

解析：（1）∵m∥n，∴asinA=bsinB，即a·a2R=b·b2R，

其中R是三角形ABC外接圓半徑，a=b

∴△ABC為等腰三角形.

（2）由題意可知m·p=0，即a（b-2）+b（a-2）=0，所以a+b=ab.

由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab 即（ab）2-3ab-4=0.

∴ab=4（舍去ab=-1）.

∴S=12absinC=12·4·sinπ3=3.

注：本題是三角和向量的綜合性題型，利用向量平行的坐標運算，和正余弦定理解決.

例6 在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b.

解析：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，則由正弦定理及余弦定理有：a·a2+b2-c22ab=3b2+c2-a22bc·c，化簡并整理得：2（a2-c2）=b2.又由已知a2-c2=2b∴4b=b2.解得b=4或b=0（舍）.

注：高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.正余弦定理的運用中抓住邊角的互化是解題的核心，在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.

（作者：張巧鳳，南京市燕子磯中學）