不等式與數(shù)列交匯的題解策略

數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，尤其是最后一問常常與不等式證明等進(jìn)行交匯．下面對考題中的數(shù)列與不等式交匯題加以例析．

題型一 求數(shù)列中的最值問題

求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值．

例1 設(shè)a>0，b>0.若3是3a與3b的等比中項，則1a+1b的最小值為 ．

分析：由三數(shù)成等比數(shù)列可得a，b的一個關(guān)系式，利用此關(guān)系式再利用基本不等式求最值即可．

解：因為3a·3b=3，所以a+b=1，

1a+1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4，

當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab即a=b=12時“=”成立．

點評：本小題考查指數(shù)式冪的運算性質(zhì)，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力．在應(yīng)用基本不等式的時候一定要滿足“一正、二定、三相等”才可以．

題型二 數(shù)列參與的不等式的證明問題

此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法：作差比較和作商比較，特別是差值比較法是常用方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法表述；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的．

例2 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2+2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn=2－bn．

（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；

（2）設(shè)cn=a2n·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn+1

分析：由an=a1 (n=1)Sn－Sn－1(n≥2) 可求出an和bn，這是數(shù)列中求通項的常用方法之一，在求出an和bn后，進(jìn)而得到cn，接下來用作商法來比較大?。?/p>

解：（1）由于a1=S1=4，當(dāng)n≥2時，

an=Sn－Sn－1=(2n2+2n)－［2(n－1)2+2(n－1)］=4n，∴an=4n(n∈N*)．

又當(dāng)n≥2時bn=Tn－Tn－1=(2－bn)－(2－bn－1)∴2bn=bn－1，

∴數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，其首項為1，公比為12

∴bn=(12)n－1．

(2)由(1)知cn=a2n·bn=16n2·(12)n－1，

∴cn+1cn=16(n+1)2·(12)(n+1)－116n2·(12)n－1=(n+1)22n2，

由cn+1cn<1得(n+1)22n2<1即n2－2n－1>0，

∴n>1+2即n≥3．

又n≥3時(n+1)22n2<1成立，即cn+1cn<1，由于cn>0，故cn+1

因此，當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn+1

點評：商值比較法證明不等式的步驟：“作商——變形——判斷與1的大小”．此時應(yīng)注意商值比較法僅適用于分母恒為正數(shù)的不等式的證明．差值比較法證明不等式的步驟：“作差——變形——判斷符號”，為了便于判斷符號，常把差式變形為積的形式或完全平方形式．

題型三 求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題

求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)的定義域為D，則當(dāng)x∈D時，有f(x)≥M恒成立fmin(x)≥M；f(x)≤M恒成立fmax(x)≤M；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等式，再通過解不等式解得．

例3 等比數(shù)列{an}的公比q>1，第17項的平方等于第24項，求使a1+a2+…+an>1a1+1a2+…1an恒成立的正整數(shù)n的取值范圍．

分析：利用條件中兩項間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項a1與公比q之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前n項和公式及所得的關(guān)系化簡不等式，進(jìn)而通過估算求得正整數(shù)n的取值范圍．

解：由題意得：(a1q16)2=a1q23，∴a1q9=1．

由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列{1an}是以1a1為首項，以1q為公比的等比數(shù)列，

要使不等式成立，則須a1(qn－1)q－1>1a1［1－(1q)n］1－1q，把a21=q－18代入上式并整理，得q－18(qn－1)>q(1－1qn)，qn>q19，∵q>1，∴n>19，

故所求正整數(shù)n的取值范圍是n≥20．

點評：本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識化簡，用不等式知識求得最后的結(jié)果．本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應(yīng)用．

在解答題中以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，深度考查不等式的證明(主要是比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對較大．

（作者：車樹勤，江蘇省連云港市錦屏高級中學(xué))