不等式的綜合考點(diǎn)再解析

從近幾年的高考試題來(lái)看，對(duì)不等式重點(diǎn)考查的大致有幾大部分：一、解不等式，二、線性規(guī)劃；三、不等式中的恒成立問(wèn)題；四、不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；五、不等式的綜合應(yīng)用．若考查小題，則常與集合、函數(shù)的定義域、值域結(jié)合，或研究線性規(guī)劃相關(guān)問(wèn)題；若考查大題則形式多樣，與其他知識(shí)結(jié)合，一般不會(huì)出現(xiàn)單獨(dú)的不等式題．

下面我們就從這部分主要的一些考點(diǎn)來(lái)談?wù)剬?duì)不等式復(fù)習(xí)的一些思考與再認(rèn)識(shí)：

一、解不等式

在考試說(shuō)明中，一元二次不等式的解法是C級(jí)要求，同學(xué)們要給予充分重視，核心方法是一元二次函數(shù)、方程與不等式之間的相互轉(zhuǎn)化.

例1 （2009天津卷文）若關(guān)于x的不等式(2x－1)2

解析：易知a>0時(shí)，原不等式有解，所以原不等式等價(jià)于［(2+a)x－1］［(2－a)x－1］<0

由題意，2－a>0，所以0

所以3<12－a≤4，所以a∈(259，4916］．

點(diǎn)評(píng)：含有參數(shù)的不等式問(wèn)題是高考?？碱}型，求解過(guò)程中要利用不等式的性質(zhì)將不等式變形，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的問(wèn)題去解決，并注意參數(shù)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中對(duì)問(wèn)題的影響．

二、線性規(guī)劃

線性規(guī)劃問(wèn)題以求線性目標(biāo)函數(shù)最值為主，同時(shí)應(yīng)關(guān)注求參變量的取值范圍，斜率和距離最值的命題趨勢(shì).

例2 定義max{a，b}=a(a≥b)b(a

解析：由題意，z=x+y，x+y≥2y－x2y－x，x+y<2y－x，又x，y滿足|x|≤2，|y|≤2，

所以問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為在|x|≤2，|y|≤2x+y≥2y－x 的條件下研究目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值和在|x|≤2，|y|≤2x+y<2y－x 的條件下研究目標(biāo)函數(shù)z=2y－x的最小值，最后比較兩個(gè)最小值中的較小者，不難發(fā)現(xiàn)答案為－3．

點(diǎn)評(píng)：適當(dāng)轉(zhuǎn)化后，本題的實(shí)質(zhì)是一個(gè)兩次線性規(guī)劃問(wèn)題．

三、不等式中的恒成立問(wèn)題

恒成立問(wèn)題一般采用分離參數(shù)的方法，同時(shí)要注意是否需要分類討論.

例3 （南京期末調(diào)研試題）設(shè)a=x2－xy+y2，b=pxy，c=x+y，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，都存在以a，b，c為三邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是__________.

解析：由條件，易判斷出c=x2+2xy+y2>a=x2－xy+y2，所以要存在以a，b，c為三邊長(zhǎng)的三角形，只需a+b>ca+c>b，

即x2－xy+y2+pxy>x2+2xy+y2x2－xy+y2+x2+2xy+y2>pxy，

即pxy>x2+2xy+y2－x2－xy+y2pxy

即p>x2+2xy+y2－x2－xy+y2xyp

即p>xy+yx+2－xy+yx－1pt+2－t－1p

p>3t+2+t－1

p

點(diǎn)評(píng)：本題初看無(wú)從下手，但細(xì)看還是一類恒成立問(wèn)題，仍然采用分離參數(shù)的方法．另，此題最后階段也可以通過(guò)研究關(guān)于t的函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定p的范圍

四、不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題一般涉及解不等式與基本不等式的應(yīng)用.關(guān)注題意中的不等關(guān)系是解決這一類型問(wèn)題的關(guān)鍵.

例4 省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x（時(shí)）的關(guān)系為f(x)=|xx2+1－a|+2a+23，x∈［0，24］，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈［0，12］，若用每天f(x)的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M(a)．

（1）令t=xx2+1，x∈［0，24］，求t的取值范圍；

（2）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，t＝0；

當(dāng)0

∴t=xx2+1=1x+1x∈(0，12］，

即t的取值范圍是［0，12］．

（2）當(dāng)a∈［0，12］時(shí)，記g(t)=|t－a|+2a+23

則g(t)=－t+3a+23，0≤t≤a

t+a+23，a

∵g(t)在［0，a］上單調(diào)遞減，在(a，12］上單調(diào)遞增，且g(0)=3a+23，g(12)=a+76，g(0)－g(12)=2(a－14)．

故M(a)=g(12)，0≤a≤14

g(0)，14

=a+76，0≤a≤14

3a+23，14

∴當(dāng)且僅當(dāng)a≤49時(shí)，M(a)≤2.

故當(dāng)0≤a≤49時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)49

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于不等式應(yīng)用題要通過(guò)閱讀，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識(shí)求出題中的問(wèn)題．

五、不等式的綜合應(yīng)用

基本不等式的應(yīng)用的命題趨勢(shì)較強(qiáng)，同時(shí)應(yīng)關(guān)注利用基本不等式把等式轉(zhuǎn)化為不等式，解此不等式求出最值的命題趨勢(shì).

例5 （常州期末調(diào)研試題）已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，記M=max｛1ac+b，1a+bc，ab+c｝，則M的最小值為_(kāi)_________．

解析：由題意，M≥1ac+bM≥1a+bcM≥ab+c，又(1ac+b)－(1a+bc)=(1－c)(1ac+b)

所以①當(dāng)c≥1時(shí)，1ac+b≤1a+bc，

∴M≥1a+bc>1a+bM≥ab+c>ab+1，∴2M>1a+b+ab+1≥2ba+2ab≥4，∴M≥2

②當(dāng)c<1時(shí)，1ac+b>1a+bc，M≥1ac+bM≥ab+c，

∴2M≥1ac+b+ab+c≥2bac+2acb≥4，

∴M≥2

綜合①②，M的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：此題是求最大值的最小值問(wèn)題，解題的突破口在將前兩項(xiàng)首先比較，較大者再與第三項(xiàng)比較.

在復(fù)習(xí)不等式這個(gè)章節(jié)時(shí)，關(guān)注以上幾個(gè)方面，特別是不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題和不等式的綜合應(yīng)用．

（作者：李建新，江蘇省泰興中學(xué))