概念•思想•方法

數(shù)列問題的切入點是數(shù)列概念的兩個方面，從項數(shù)與項的對應(yīng)關(guān)系考慮，數(shù)列是有序排列的一列數(shù)，因而歸納遞推是常用方法;從數(shù)列是散點函數(shù)的特征考慮，對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)是解決數(shù)列問題的另一途徑，但兩個方面的思路都基于“尋找相鄰項關(guān)系”，這是解決任何數(shù)列問題的關(guān)鍵．對高三備考而言，以典型小題理清思路是很好的復(fù)習(xí)措施.

１．基于歸納遞推的數(shù)列問題

與自然數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題一般都可視為數(shù)列，這一點至關(guān)重要．例如“定義運算*：2*2=1，且n∈N*時，(2n+2)*2=3［(2n)*2］，則(2n)*2=?”這一問題的關(guān)鍵條件是n∈N*，而(2n)*2與(2n+2)*2恰恰反映了從n到n+1時(2n)*2值的變化關(guān)系，令an=(2n)*2，則{an}是等比數(shù)列．這類所謂的創(chuàng)新問題旨在考查對數(shù)列模型或者說是對數(shù)學(xué)符號的認知．隨著n變化，“從n到n+1”簡單理解即為“遞推”．

例１ 數(shù)列{an}，a1=2，an+1=1+an1－an，則a1a2a3…a2012=?

分析：遞推歸納可知｛an｝具有周期性變化的特征且Ｔ＝４，∴a1a2a3…a2012＝(a1a2a3a4)503=1

［變１］f(x)=［x［x］］(0≤x

分析：記g(n)=an，n=1，0≤x<1，f(x)=0，a1=1；n=2時，a2=a1+1…，從0≤x

本題源于歸納但不完全歸納常常導(dǎo)致錯誤且解題過程不嚴密，因而尋找相鄰項關(guān)系是關(guān)鍵，疊加法源于等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程．另一典型問題“平面上n個圓兩兩相交但無三個圓共點(n≥3)，它們分平面成f(n)個區(qū)域，如f(x)=2009的根x0∈［k，k+1)，則k=?”中f(n)=f(n－1)+2(n－1)，類推可得f(n)=n2－n+2，設(shè)g(x)=x2－x－2007，g(45)<0，g(46)>0，∴k=45．此外，凡an=an－1+f(n)型遞推可用疊加法（f(n)=d即等差數(shù)列），an+1an=f(n)型遞推可用迭乘法（f(n)=q時為等比數(shù)列），這些都是源于課本的方法．

［變２］an+1=|an－1|，(1)a1=114，求a6;(2)若a1=a∈(k，k+1)，k∈N*，求數(shù)列{an}前３k項之和．（３）是否存在a1∈R，n0∈N*使得n≥n0時an恒為常數(shù)？如存在，求之．

分析：（１）歸納知a6=14；（２）1≤k0，k+1－a>0，從（１）的過程發(fā)現(xiàn)某些項之后的項只有兩個數(shù)，這是解決本題的基礎(chǔ)！S3k=［a+(a－1)+(a－2)+…+(a－k)］+［(k+1－a)+(a－k)+…+(k+1－a)+(a－k)］+(k+1－a)＝(k+1)a－k(k+1)2+(k－1)+(k+1－a)＝k(a+2)－k(k+1)2．

（３）由（２），只能從第k+1項起，k+1－a=a－k，a=k+12

∴存在a1=k+12，n0=k+1符合題意．本題從特殊情形歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律——通過觀察形成的直覺也是數(shù)學(xué)能力重要的組成部分．

2.基于“項”與“和”轉(zhuǎn)化的數(shù)列問題

等差（等比）數(shù)列由基本量——首項和公差（公比）確定，由項求和或由和的關(guān)系確定項的性質(zhì)是高考中數(shù)列的重點內(nèi)容；對任何含未知量的關(guān)系式，減少未知數(shù)（消元）是高中數(shù)學(xué)最核心的數(shù)學(xué)思想，這一點同樣適用于數(shù)列問題．從n∈N*的一般關(guān)系演繹（特殊化）或由特殊到一般（歸納）是辨證統(tǒng)一的兩個方面．對任何數(shù)列，a1=S1，an=Sn－Sn－1(n≥2)，此外，整體換元在數(shù)列中是簡化關(guān)系和運算過程的重要方法．

例２ {an}等差，a2nan=4n－12n－1，則S2nSn=?

分析：等差數(shù)列由任兩項或者首項及公差確定，取n=1，a2a1=3（特殊化），

∴d=2a1∴an=(2n－1)a1，Sn=n2a1（消元）．∴S2nSn=4

［變式］等差數(shù)列{an}和{bn}前n項和之比SnTn=n2n－1，則a10b5=?

分析：等差數(shù)列中2an=a1+a2n－1可與S2n－1互相轉(zhuǎn)化，若求a10b10，則2a102b10=S19T19．但2a102b5=9S1919T9無法運用已知條件，故考慮基本量：n=1，S1T1=a1b1=1，設(shè)a1=b1=a;

取n=２，得a1+a2b1+b2=23∴2a+3d1=2d2;取n=3得6a+15d1=9d2，

∴d2=2d1，d1=2a，∴an=(2n－1)a，bn=(4n－3)a.∴a10b5=1917.

上述過程深刻體現(xiàn)了“消元”的數(shù)學(xué)思想．若設(shè)Sn=na1+n(n－1)2d1=k1n2+b1n，同理可設(shè)Tn=k2n2+b2n，取n=1，2，3，其實質(zhì)仍為消元尋求基本量的關(guān)系．

例３ a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，則an=?

分析：識別左邊為{nan}的前n項之和是本題關(guān)鍵.設(shè)nan=An（整體換元），則Sn=n(n+1)(n+2)，由An=6(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)，An=3n(n+1)∴an=3(n+1)

［變式］數(shù)列{an}，若Tn=∑n+2i=12i－1ai+2a1－a3－2n+2an+1，（１）證明：若{an}等差，則Tn=0;(2)（１）的逆命題成立否？說明理由．

分析：（１）{an}等差，{2n－1}等比，利用錯位相消法求∑n+2i=12i－1ai代入可證．

（２）Tn=0即a1+2a2+22a3+…+2n+1an+2=2n+2an+1+a3－2a1恒成立，類比例３，記An=2n－1an①，則Sn+2=2n+2an+1+a3－2a1，∴Sn=2nan－1+a3－2a1，

∴Sn－1=2n－1an－2+a3－2a1，n≥3時，An=Sn－Sn－1=2nan－1－2n－1an－2，由①，2an－1=an－2+an(n≥3)即{an}任意相鄰三項成等差，∴{an}成等差數(shù)列即（１）的逆命題成立．

從“數(shù)學(xué)是科學(xué)語言”的角度考慮，本題的整體換元在運算過程中簡化了數(shù)學(xué)表述，從而為發(fā)現(xiàn)運算關(guān)系提供了方便．

由通項求和是數(shù)列的基本問題，除等差（比）數(shù)列可直接運用求和公式外，“錯位相消”源于課本中等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程，適用于求任何等差與等比數(shù)列對應(yīng)項乘積的前n項之和，此外，分式數(shù)列常用“裂項求和”．

例４ 數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，前n項和為Sn且Sn+1，Sn，Sn－1（n≥2）分別是直線l上A，B，C三點橫坐標，AB=2an+1anBC，b1=1，bn+1=log2(an+1)+bn．

（１）求an;(2)cn=4bn+1－1n+1anan+1，證明23≤∑nk=1ck<1

分析：由向量關(guān)系知：xB－xA=2an+1an(xc－xB)即Sn－Sn+1=2an+1an(Sn－1－Sn)，

∴an+1=2an+1(n=1也成立)．設(shè)an+1+a=2(an+a)則a=1，Bn=an+1為等比數(shù)列（這個構(gòu)造等比數(shù)列的過程稱為“公式法”，可推廣用于任何形如an+1=pan+q的數(shù)列），Bn=2n∴an=2n－1．∴bn+1=bn+n，再運用“疊加法”可得bn=n2－n+22∴cn=2n(2n－1)(2n+1－1)=12n－1－12n+1－1，以n=1，2，3…n代入，

∴∑nk=1ck=1－12n+1－1對n遞增，∴∑nk=1ck<1且∑nk=1ck≥23(n=1取等號）．

與例４相對應(yīng)的另一類問題是，無法求數(shù)列的和（積）或者求和（積）較困難時，常將需比較的另一個量拆成相同項的和（積），這是一種逆向的思維轉(zhuǎn)換．

例５ 比較122+132+…+1n2和n－12n(n≥2)的大小并給出證明．

分析：取n=2，3，……歸納可得122+132+…+1n2≥n－12n(n≥2)，但常規(guī)的放縮法如1n2>1n(n+1)=1n－1n+1等無法證明．故考慮拆右式為某數(shù)列前n-1項的和，再比較兩數(shù)列對應(yīng)項．設(shè)an=1n2，∑ni=1bi=1+n－12n=Sn，

則bn=S1(n=1)Sn－Sn－1(n≥2) （這對任何數(shù)列成立！）

∴bn=1(n=1)12n(n－1)(n≥2) ∵2n(n－1)－n2=n(n－2)≥0，

∴1n2≥12n(n－1)=12(1n－1－1n)(n≥2)恒成立，∴∑ni=1an≥∑ni=1bn

即122+132+…+1n2≥n－12n(n≥2)．

本題如改成“證明∑ni=11i2＜２”，則可由1n2<1n(n－1)=1n－1－1n(n≥2)恒成立，∴∑ni=11i2<1+(1－12)+(12－13)+…+(1n－1－1n)=2－1n<2，類似可證∑ni=11i2>nn+1．

由此可以看出，所謂的“放縮法”，其實質(zhì)也就是尋找與已知數(shù)列接近的另一數(shù)列，比較其對應(yīng)項．

３．數(shù)列與不等式——項與和關(guān)系的延伸

函數(shù)、方程、不等式相互關(guān)系及其轉(zhuǎn)化是貫穿高中數(shù)學(xué)始終的核心內(nèi)容，以數(shù)列為背景考查相關(guān)知識在高考中屢有體現(xiàn)，這實質(zhì)上考查了對“數(shù)列是函數(shù)”的透徹理解．

例6 數(shù)列{an}前n項和Sn，a1=a2=1，bn=nSn+(n+2)an，{bn}等差，

(1)求an;(2)證明a1a2a3…anS1S2…Sn<22n+1(n+1)(n+2)

分析:（１）取n=1，n=2（特殊化）得b1=4，b2=8，∴bn=4n=nSn+(n+2)an；

4=Sn+n+2nan(*)，∴4=Sn－1+n+1n－1an－1相減得anan－1=n2(n－1)(n≥2)

由“迭乘法”或由ann=12(an－1n－1)得{ann}成等比數(shù)列都可得an=n2n－1

（２）an>0∴Sn=4－n+22n－1>0，但將Sn和an代入無法化簡a1a2…anS1S2…Sn.觀察(*)式為與an和Sn相關(guān)的“和”式，anSn為“積”且4為定值，基本不等式恰恰反映了兩個正數(shù)和與積的大小關(guān)系：4≥2Snann+2n，即anSn≤4nn+2(當且僅當Sn=n+2nan時取等號，n=1等號不成立）∴a1a2…anS1S2…Sn<4n［132435…n－1n+1nn+2］=22n+1(n+1)(n+2)．

與不等式聯(lián)系的另一類問題是數(shù)列與線性規(guī)劃整合，四川高考提供了一道典型題:

例7 {an}等差且前n項和Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4最大值為 .

分析：二元一次不等式或方程（組）的解集——實數(shù)對——點集，這三者之間的對應(yīng)關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重點之一，也是用幾何方法解決代數(shù)問題的基礎(chǔ)．

設(shè)首項為a，公差d，則由條件得2a+3d≥5a+2d≤3a4=a+3d=t，類比2x+3y≥5x+2y≤3x+3y=t，在平面直角坐標系aOd中，作出點(a，d)的可行域，運用線性規(guī)劃的方法得tmax=4即為所求．

［變式］點An(an，0)，Bn(0，bn)，an=2n，bn=an+b(n∈N*，a>0)，且a，b為整數(shù)，b1≥－12，直線AnBn斜率kn，若數(shù)列{kn}前８項依次遞減，求這樣的數(shù)列{bn}的個數(shù)．

分析：kn=－an+b2n，數(shù)列{kn}前８項依次遞減k1>k2>…>k8①kn>kn+1對1≤n≤7恒成立②，但①使a，b的關(guān)系變得繁瑣而②化簡得an+b

相對于一般函數(shù)，“數(shù)列”的單調(diào)性只考察相鄰項關(guān)系.由于數(shù)列的變量是n，故an>an+1恒成立{an}遞減；an0，∴數(shù)列{f(n)}遞增，故f(n)≥f(2)=712．但對另外一些數(shù)列，我們常常運用其原型函數(shù)的性質(zhì)．

例8．{an}為等比數(shù)列，a1=2，q=3，證明Sn+1Sn≤3n+1n．

分析：通過分析法（這是證明不等式常用的方法?。醋C明3n≥2n+1.設(shè)f(x)=3x－2x－1，f′(x)=3xln3－2≥3ln3－2>0(x≥1)恒成立，∴f(x)對x≥1遞增，f(x)≥f(1)=0∴n∈N*，f(n)≥0即3n≥2n+1，故原式成立．對于理科同學(xué)而言，本題用數(shù)學(xué)歸納法或者二項式定理展開3n=(1+2)n也可證明．

４．拓展問題——數(shù)列與組合數(shù)

數(shù)列是以自然數(shù)為變量的函數(shù)，由此排列數(shù)、組合數(shù)這些與自然數(shù)密切相關(guān)的變量問題常常運用數(shù)列的方法，這是數(shù)列問題的延伸，一般在理科附加試卷中出現(xiàn)．

例８ n≥4，M={1，2，3…，n}的３元子集記為A1，A2，…，Ac3n．

（１）n=5，求A1，A2，…Ac3n中的所有元素之和；（２）mi為Ai中的最小元素，求Pn=m1+m2+…+mc3n（可用組合數(shù)表示）．

分析：（１）即求所有三元子集元素之和．含有１，2，…，5的三元子集各C24個，∴S=C24(1+2+…+5)=90為所求.

(2)最小元素依次為1，2，……，n-2的三元子集各C2n－1，C2n－2，C2n－3…C22個，所有最小元素之和即Pn=C2n－1+2C2n－2+3C2n－3+…(n－2)C22，由于C2k為(1+x)k展開式x2系數(shù).

∴Pn即(1+x)n－1+2(1+x)n－2+3(1+x)n－3+…(n－2)(1+x)2展開式x2系數(shù).

設(shè)1+x=q，w=qn－1+2qn－2+…+(n－2)q2，qw=qn+2qn－1+…+(n－2)q3;

∴w=qn+1－q3(q－1)2－(n－2)q2q－1=1x2［(1+x)n+1－(1+x)3］－(n－2)(1+x)2x(錯位相消法)，x2系數(shù)為C4n+1，即Pn=C4n+1

綜上所述，數(shù)列問題是高考中的重點也是難點之一，涉及的知識和方法較多，但只要透徹理解典型問題并深刻理解課本相關(guān)結(jié)論推導(dǎo)過程中蘊藏的思想與方法，問題解決仍然具有一定的規(guī)律可循.

（作者：吉冬林，江蘇省邗江中學(xué))