函數(shù)綜合題的題型分析

函數(shù)問題是歷年高考命題的熱點之一，題型有填空題、解答題，解答題一般是以中高檔題為主，這類題將函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識融合，難度較大，因此在復(fù)習(xí)過程中有必要認(rèn)真加以研究，以提高應(yīng)試能力.本文對函數(shù)綜合題的題型進行一些歸類，供參考．

一、含絕對值的函數(shù)

例1 已知函數(shù)f(x)=|x－m|和函數(shù)g(x)=x|x－m|+m2－7m.

（1）若方程f(x)=|m|在［－4，+∞)上有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若對任意x1∈(－∞，4］，均存在x2∈［3，+∞)，使得f(x1)>g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍.

解：（1）方程f(x)=|m|，即|x－m|=|m|．此方程在x∈R時的解為：x=0和x=2m．要使方程|x－m|=|m|在x∈［-4，+∞)上有兩個不同的解，則2m≥－4且2m≠0，所以m的取值范圍是m≥－2且m≠0.

（2）原命題等價于：對任意x1∈(－∞，4］，存在x2∈［3，+∞)，均有f(x1)min>g(x2)min.而對于任意x1∈(－∞，4］，f(x)min=0(m≤4)m－4(m>4)；

對任意x2∈［3，+∞)，

g(x)min=m2－10m+9(m<3)m2－7m(m≥3)，

① 當(dāng)m<3時，0>m2－10m+9，即1

② 當(dāng)3≤m≤4時，0>m2－7m，即3≤m≤4.

③ 當(dāng)m>4時，m－4>m2－7m，即4

綜上所述：1

點評：本題是融絕對值函數(shù)、最值、不等式、圖像等知識為一體的一個探索性綜合題，其解題思路是：根據(jù)函數(shù)定義域，確定函數(shù)的最小值，最后根據(jù)題目要求探索出滿足條件的結(jié)論，并作論證.解答絕對值函數(shù)要注意：①各段解析式與定義域的對應(yīng)關(guān)系；②要注意分類討論思想的的應(yīng)用，以免漏解；③函數(shù)單調(diào)性及圖象應(yīng)注意各段間的聯(lián)結(jié)關(guān)系.對絕對值函數(shù)的考查已成為高考的一個新的亮點，復(fù)習(xí)中要引起足夠的重視.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象以及導(dǎo)數(shù)這個工具來解決函數(shù)綜合題

例2 已知函數(shù)f(x)=xe－x(x∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明:當(dāng)x>1時， f(x)>g(x)；

(3)如果x1≠x2且f(x1)=f(x2)，證明: x1+x2>2.

解: (1)f′(x)=(1－x)e-x，令f′(x)=0，解得x=1，列表如下:

x(－∞，1)1(1，+∞)

f′(x)+0—

f(x)↗極大值↘

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，1)，單調(diào)減區(qū)間為(1，+∞)，函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)=1e.

(2)由題意可知g(x)=f(2－x)，得g(x)=(2－x)ex－2.令F(x)=f(x)－g(x)，即F(x)=xe－x+(x－2)ex－2，于是F′(x)=(x－1)(e2x－2－1)e－x.當(dāng)x>1時， 2x－2>0，又e－x>0，所以F′(x)>0，從而函數(shù)F(x)在［1， +∞)是單調(diào)遞增函數(shù)，且F(1)=e－1－e－1=0，故當(dāng)x>1時，有F(x)>F(1)=0，即f(x)>g(x).

(3)由(1)的結(jié)論及函數(shù)f(x)的圖象可知:不妨設(shè)x1<1，x2>1，再有(2)的結(jié)論可知f(x2)>g(x2)，且g(x2)=f(2－x2)，所以f(x2)>f(2－x2)，從而f(x1)>f(2－x2)，因為x2>1，所以2－x2<1，又由(1)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，1)上是增函數(shù)，所以x1>2－x2，即x1+x2>2.

點評：導(dǎo)數(shù)進入高中數(shù)學(xué)教材后，給函數(shù)綜合題的考查賦予了新的生機與活力，開辟了許多新的解題途徑，拓寬了高考對函數(shù)綜合題的命題空間.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、函數(shù)圖象等知識，考查運算能力及分類討論的思想方法．

三、函數(shù)與數(shù)列、不等式等知識的綜合題

例3 已知函數(shù)f(x)=1+lnxx．

（1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a+1)上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）求證：當(dāng)n∈N，n≥2時，nf(n)<2+12+13+…+1n－1.

解:（1）由f(x)=1+lnxx得f′(x)=－lnxx2，令f′(x)=0得x=1．則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，(1，+∞)上單調(diào)遞減，即f(x)在x=1處取得極大值，由題意得a<1

（2）∵nf(n)=1+lnn，即證：lnn<1+12+13…+1n－1，（n≥2， n∈N*）

令Tn=1+12+13+…+1n－1－lnn，

則Tn+1=1+12+13+…+1n－ln(n+1)，

∴ Tn+1－Tn=1n－ln(n+1)+lnn

=1n－ln(1+1n)，

設(shè)1n=t，則t∈(0，12］，令函數(shù)g(t)=t－ln(1+t)，t∈(0，12］，

有g(shù)′(t)=1－11+t>0在t∈(0，12］恒成立，所以g(t)>g(0)=0，

即有Tn+1>Tn成立，也就是數(shù)列｛Tn｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以Tn≥T2=1－ln2>0，即nf(n)<2+12+13+…+1n－1成立.

點評：數(shù)列是特殊的函數(shù)，函數(shù)的圖象、性質(zhì)能反映數(shù)列的規(guī)律特征，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)解數(shù)列問題，體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，更能使復(fù)雜問題簡單化．

四、以基本函數(shù)為依據(jù)構(gòu)造新函數(shù)

例4 對于函數(shù)f1(x)，f2(x)，h(x)，如果存在a，b使得h(x)=af1(x)+bf2(x)，那么稱h(x)為f1(x)，f2(x)的生成函數(shù).

（1）下面給出一組函數(shù)，問h(x)是否分別為f1(x)，f2(x)的生成函數(shù)？并說明理由.

f1(x)=sinx，

f2(x)=cosx，

h(x)=sin(x+π3).

(2)設(shè)f1(x)=log2x，f2(x)=log12x，a=2，b=1，生成函數(shù)h(x).若不等式h(4x)+t·h(2x)<0在x∈［2，4］上有解，求實數(shù)t的取值范圍.

(3)設(shè)f1(x)=x(x>0)，f2(x)=1x(x>0)，取a>0，b>0，生成函數(shù)h(x)圖像的最低點坐標(biāo)為(2，8).若對任意正實數(shù)x1，x2，x1+x2=1，問是否存在最大的常數(shù)m，使h1(x)h2(x)≥m恒成立?如果存在，求出這個m的值;如果不存在，請說明理由.

解: (1)設(shè)sin(x+π3)=asinx+bcosx，即12sinx+32cosx=asinx+bcosx，取a=12，b=32，所以h(x)是f1(x)，f2(x)的生成函數(shù).

（2)h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log12x=log2x.由h(4x)+t·h(2x)<0，即log2(4x)+t·log2(2x)<0，即(2+log2x)+t(1+log2x)<0．因為x∈［2，4］，所以1+log2x∈［2，3］，則t<－2+log2x1+log2x=－1－11+log2x，函數(shù)y=－1－11+log2x在［2，4］上單調(diào)遞增，所以ymax=－43，故t<－43.

（3)由題意h(x)=ax+bx(x>0，a>0，b>0)，則h(x)≥2ab，故2a+b2=82ab=8，解得a=2b=8，所以h(x)=2x+8x(x>0).假設(shè)存在最大的常數(shù)m，使得h1(x)h2(x)≥m恒成立，則設(shè)u=h1(x)h2(x)=4(x1+4x1)(x2+4x2)=4x1x2+64x1x2+16(x1x2+x2x1) = 4x1 x2  + 64x1 x2  + 16·x21  + x22 x1 x2  = 4x1 x2  + 64x1 x2  + 16·(x1  + x2 )2-2x1 x2 x1 x2 =4x1x2+80x1x2－32

設(shè)t=x1x2，則t=x1x2≤(x1+x22)2=14，即t∈(0，14］，則u=4t+80t－32，t∈(0，14］，因為u′(t)=4－80t2<0，t∈(0，14］，所以u=4t+80t－32在(0，14］上單調(diào)遞減，從而u≥u(14)=289，故存在最大的常數(shù)m=289.

點評：本題以一道新定義型函數(shù)為背景，通過設(shè)置新情境，考查同學(xué)們閱讀、理解、遷移新知識的能力，以及靈活運用函數(shù)知識求解問題能力.此類題型的解題思路是：理解定義，按定義進行轉(zhuǎn)換，利用已有的函數(shù)等相關(guān)知識求解.由于此類創(chuàng)新性函數(shù)問題往往能將函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等知識融為一體，極富有思考性和挑戰(zhàn)性，能有效考查同學(xué)們的思維水平和綜合能力.預(yù)計在今后的高考中將會設(shè)計出更加靈活，更能體現(xiàn)“能力立意”的命題，復(fù)習(xí)中要注意這種趨向.

綜上所述，函數(shù)解答題往往立足于考查函數(shù)單調(diào)性、極值、切線、恒成立等問題，尤其是利用導(dǎo)數(shù)工具解決單調(diào)區(qū)間和極值問題的能力，同時要注重含參問題的分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．

解題時還要注意以下幾點：先仔細審題，確定解題方案，這就是所謂的“先想后動、多想少動”；求導(dǎo)要準(zhǔn)，否則后面就會白費力氣而不能得分；求極值和單調(diào)區(qū)間時別忘了定義域；極值不一定是最值，最值也不一定是極值，連續(xù)函數(shù)的最值有可能在邊界或極值處取得；分類討論時要討論全面，避免遺漏；解決含參問題時要注意能否取等．最后一點，復(fù)習(xí)時別忘了重視用通法、通性解題．

（作者：牛海亮，江蘇省蘇州大學(xué)附屬中學(xué))