分析高考命題特征 探尋高考命題規(guī)律

1 不得不關(guān)注的兩個事實

1．1 解析幾何在歷年試卷中的比重：

2．圓錐曲線與方程

中心在坐標(biāo)原點橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)√

中心在坐標(biāo)原點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)√

頂點在坐標(biāo)原點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)√

1.3 參照近幾年江蘇卷我們會發(fā)現(xiàn)：

（1）解析幾何內(nèi)容在近幾年江蘇高考中，從所占的分值來看平均大約占21分，在理科附加題的考查中也常有解析幾何的影子；

（2）從題型上看，一般填空題為1~2題，解答題一般為1題；

（3）從試題命題的難度看，僅有2010年第6題考查的是有關(guān)雙曲線的問題是屬于基礎(chǔ)題，其他試題均屬于中檔題或綜合性較強的問題.

事實上，從江蘇高考考綱對這一部分的要求來看，也只有對雙曲線與拋物線的要求是A級，所以我們在復(fù)習(xí)這兩種圓錐曲線時切忌挖得太深．當(dāng)然，關(guān)于空間直角坐標(biāo)系的考查主要是放在理科附加題部分空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．

2 解析幾何題高考指向

2.1 指向1：有關(guān)直線的問題

考題1（08 江蘇 9）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC的頂點分別為A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，點P(0，p)是線段AO上的一點（異于端點），這里a，b，c，p均為非零實數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點E，F(xiàn)，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為(1b－1c)x+(1p－1a)y=0，請你完成直線OF的方程：( )+(1p－1a)y=0．

【解析】本小題考查直線方程的求法．畫草圖，由對稱性可猜想填1c－1b．事實上，由截距式可得直線AB：xb+ya=1，直線CP：xc+yp=1，兩式相減得(1c－1b)x+(1p－1a)y=0，顯然直線AB與CP 的交點F 滿足此方程，又原點O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程．

【答案】1c－1b.

2.2 指向2：有關(guān)圓錐曲線的問題

考題2（10 江蘇 6）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線x24－y212=1上一點M，點M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線右焦點的距離是__________.

【答案】4

考題3（08 江蘇 12）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2c，以O(shè)為圓心，a為半徑作圓M，若過P(a2c，0)作圓M的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為__________.

【解析】設(shè)切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a2c=2a，解得e=ca=22．

【答案】22

考題4（09 江蘇 13）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為__________

【答案】27-5

【解析】用a，b，c表示交點T，得出M坐標(biāo)，代入橢圓方程即可轉(zhuǎn)化解得離心率.

2.3 指向3：有關(guān)直線與圓的問題

考題5（10 江蘇 9）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x－5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是__________.

【答案】(－13，13)

【解析】考查圓與直線的位置關(guān)系．圓半徑為2，圓心(0，0)到直線12x－5y+c=0的距離小于1，|c|13<1，所以c的取值范圍是(－13，13).

考題6（08 江蘇 18）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點．經(jīng)過這三個交點的圓記為C．

（1）求實數(shù)b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．

解析：（1）令x=0，由b≠0且Δ>0，得b<1且b≠0.

(2)涉及圓與坐標(biāo)軸的交點問題，設(shè)圓的一般方程轉(zhuǎn)化為二次方程解的問題，可得圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.也可以首先求出三個交點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，將點的坐標(biāo)代入圓的方程.

（3）將圓C過定點轉(zhuǎn)化為方程恒成立問題，求得圓C過定點(0，1)，(-2，1).

考題7（09 江蘇 18）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y－1)2=4和圓C2:(x－4)2+(y－5)2=4

（1）若直線l過點A(4，0)，且被圓C1截得的弦長為23，求直線l的方程；

（2）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).

【解析】(1) y=0或y=－724(x－4)，

(2)利用垂徑定理可知弦心距相等，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程恒成立問題.或由題意知P在線段C1C2的中垂線上，且與C1、C2成等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計算可得點P坐標(biāo)為(－32，132)或(52，－12)．

2.4 指向4：有關(guān)直線與橢圓的問題

考題8（10 江蘇 18）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓x29+y25=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F．設(shè)過點T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0．

（1）設(shè)動點P滿足PF2－PB2=4，求點P的軌跡；

（2）設(shè)x1=2，x2=13，求點T的坐標(biāo)；

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）．

［解析］ （1）點P的軌跡為直線x=92．

（2）點T的坐標(biāo)為(7，103)．

（3）將直線AT、BT分別與橢圓聯(lián)立方程組.考慮到A、B兩點為定點，

解得：M(3(80－m2)80+m2，40m80+m2)、N(3(m2－20)20+m2，－20m20+m2)．

（方法一）當(dāng)x1≠x2時，直線MN方程為：y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x－3(m2－20)20+m23(80－m2)80+m2－3(m2－20)20+m2

令y=0，解得：x=1．此時必過點D（1，0）；

當(dāng)x1=x2時，直線MN方程為：x=1，與x軸交點為D（1，0）．

所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）．

（方法二）若x1=x2，則由240－3m280+m2=3m2－6020+m2及m>0，得m=210，

此時直線MN的方程為x=1，過點D（1，0）．

若x1≠x2，則m≠210，直線MD的斜率kMD=40m80+m2240－3m280+m2－1=10m40－m2，

直線ND的斜率kND=－20m20+m23m2－6020+m2－1=10m40－m2，得kMD=kND，所以直線MN過D點．

因此，直線MN必過x軸上的點（1，0）．

3 2012年江蘇高考數(shù)學(xué)預(yù)測

3.1 從近幾年的命題及考綱要求看，有這樣一個現(xiàn)象值得關(guān)注：那就是直線與圓和直線與橢圓的輪番交替出現(xiàn)．08年在填空題第12題考查了求橢圓的離心率，隨即在第18題考查了直線與圓的綜合題；09年在填空題第13題考查了求橢圓的離心率，隨即在第18題考查了直線與圓的綜合題；10年在填空題第9題考查了直線與圓，隨即在第18題考查了運算量較強的直線與橢圓的綜合題．也就是說直線與圓和直線與橢圓這幾年考查規(guī)律基本上是以一大一小的形式進行，而且均有一定的綜合性．

3.2 新考綱對雙曲線及拋物線的要求較低（均為A級要求），從這幾年的高考命題來看，僅有一題考察了雙曲線的基本知識，這就提示我們在復(fù)習(xí)這兩種圓錐曲線時，一定要大膽摒棄一些難度偏大的填空題，運算量偏大的解答題，那些在舊考綱要求下的繁瑣問題要堅決舍棄，不能因此讓我們復(fù)習(xí)偏離了方向．

（作者：薛鈞，江蘇省如皋中學(xué))