函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合測試題

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共計70分）

1．已知曲線y=x24-3lnx的一條切線的斜率為12，則切點的橫坐標(biāo)為.

2．已知曲線y=x3-1與曲線y=3-12x2在x=x0處的切線互相垂直，則x0=.

3．已知f(x)=2x3-6x2+m（m為常數(shù)）在［-2，2］上有最大值3，那么此函數(shù)在［-2，2］上的最小值為.

4．函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則b的范圍為.

5．在函數(shù)y=x3-8x的圖像上，其切線的傾斜角小于稹肌 4的點中，坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)是.

6．點P在曲線y=x3-x+7上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為?，则捷p的取值范圍是.

7．設(shè)f0(x)=sinx，f1(x)=f′0(x)，f2(x)=f′1(x)，…，fn+1(x)=f′n(x)，n∈N，則f2012(x)=.

8．設(shè)函數(shù)y=xsinx+cosx的圖像上的點(x0，y0)的切線的斜率為k，若k=g(x0)，則函數(shù)k=g(x0)的圖像大致為.



9．已知函數(shù)y=xf′(x)的圖像如右圖所示（其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖像中y=f(x)的圖像大致是.



10.設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＞0.且g(3)=0.則不等式f(x)?g(x)<0的解集是.

11.若0

12．函數(shù)f(x)=x3+3x(x∈R)，若f(mx2)+f(1－mx)>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是.

13.若曲線y=h(x)在點P(a，h(a))處的切線方程為2x+y+1=0，則h′(a)與0的大小關(guān)系是h′(a)0（填≥、≤、＞、＜中最準(zhǔn)確的一個）.

14．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)=0，xf′(x)－f(x)x2>0（x>0），則不等式x2f(x)>0的解集是.

二、解答題（本大題共6小題，共計90分）

15．(本小題滿分14分)

設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點．

（1）試確定常數(shù)a，b的值；

（2）試判斷x=1，x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.

16．(本小題滿分15分)

設(shè)關(guān)于x的方程2x2-ax-2=0的兩根為 ， ( < )，函數(shù)f(x)=4x-ax2+1．

（1）求f( )穎( )的值；（2）證明f(x)是［ ，猓萆系腦齪唬 3）當(dāng)a為何值時，f(x)在區(qū)間［ ，猓萆系淖畬籩滌胱钚≈抵鈄钚?？≯E冢耍姜¤

17.(本小題滿分15分)

甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定的凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x=2000t，若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價格)．

(1)將乙方的年利潤w(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；

(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.002t2(元)，在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少？

18．(本小題滿分15分)

已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1，x=-23時，都取得極值．

（1）求a、b的值．

（2）若對x∈［-1，2］，都有f(x)<1c恒成立，求c的取值范圍.

19．(本小題滿分15分)

已知x=1是函數(shù)f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一個極值點，其中m，n∈R，m<0.

（1）求m與n的關(guān)系式；

（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)x∈［-1，1］時，函數(shù)y=f(x)的圖像上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍.

20．(本小題滿分16分)

已知函數(shù)f(x)=1(1－x)n+aln(x－1)，其中n∈N，a為常數(shù).

（1）當(dāng)n=2時，求函數(shù)f(x)的極值；

（2）當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時，有f(x)≤x－1．

參考答案

一、填空題

1.3；2.313；3.-37；4.（0，1）；5.0；

6.［0，稹肌 2）∪［3稹肌 4，穡 7.sinx；8.A；

9.C;10.(-∞，-3)∪(0，3)；

11.令f(x)=x-2sinx則f′(x)=1-2cosx

f(x)在［0，稹肌 3］上單調(diào)遞減，在［稹肌 3，稹肌 2］上單調(diào)遞增

f(0)=0，f(稹肌 2)=稹肌 2-2<0，所以f(x)<0

x<2sinx(x∈［0，稹肌 2）

12.［0，4)；13.h′(a)<0；14.（-1，0）∪（1，+∞）.

二、解答題

15.解：f′(x)=ax+2bx+1

（1）由極值點的必要條件可知：f′(1)=f′(2)=0

即a+2b+1=0，且a2+4b+1=0，解方程組可得a=-23，b=-16

∴f(x)=-23lnx-16x2+x

（2）f′(x)=-23x-1-13x+1，當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)<0

當(dāng)x∈(1，2)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(2，+∞)時，f′(x)<0

故在x=1處函數(shù)f(x)取得極小值56，在x=2處函數(shù)取得極大值43-23ln2．

16.解：（1）f( )=-8a2+16-a，f( )=8a2+16+a

f( )穎( )=-4

（2）設(shè)(x)=2x2-ax-2，則當(dāng)

f′(x)=(4x-a)′(x2+1)-(4x-a)(x2+1)′(x2+1)2

=4(x2+1)-2x(4x-a)(x2+1)2



=-2（2x2-ax-2）(x2+1)2

=-2(2x2-ax+2)(x2+1)2

=-2(x)(x2+1)2>0

∴函數(shù)f(x)在( ， )上是增函數(shù)

（3）函數(shù)f(x)在［ ，猓萆獻(xiàn)畬籩礷( )>0，最小值f( )<0

∵|f( )穎( )|=4

∴當(dāng)且僅當(dāng)f( )=-f( )=2時

f( )-f( )=|f( )|+f( )|取最小值4，此時a=0，f( )=2．

17.解：(1)w＝2000t－st，∴w′＝1000t－s，

令w′＝0，得t0＝(1000s)2，

當(dāng)t＞t0時，w′＜0，當(dāng)t＜t0時，w′＞0，

∴t＝t0時w取最大值，這時年產(chǎn)量為(1000s)2(噸)．

(2)設(shè)甲方凈收入為v元，則v＝st－0.002t2.

將t＝(1000s)2代入，得v＝10002s－2×10003s4，

v′＝10002×8000-s3s5.

令v′＝0，得s＝20，當(dāng)s＜20時，v′＞0，當(dāng)s＞20時，v′＜0時，∴s＝20時，v取最大值．

故甲方向乙方要求賠付價格s＝20元/噸時獲最大凈收入．

18.解：（1）由題意知f′（x）=3x2+2ax+b的兩個根分別為1和-23

由韋達(dá)定理，得：1-23=-2a3，b3=１×(-23)

則a=-12，b=-2

（2）由（1），有f（x）=x3-12x2-2x+c，f′（x）=3x2-x-2

當(dāng)x∈［-1，-23)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(-23，1)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(1，2］時，f′(x)>0，

當(dāng)x=-23時，f(x)有極大值2227+c，f(-1)=12+c，f(2)=2+c

∴當(dāng)x∈［-1，2］，f(x)的最大值為f(2)=2+c

對x∈［-1，2］，都有f(x)<1c恒成立，∴2+c<1c，

解得或0

19.解:(I(xiàn))f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n因為x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點，

所以f′(1)=0，即3m-6(m+1)+n=0，所以n=3m+6.

（I(xiàn)I）由（I(xiàn)）知，f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+2m)］

當(dāng)m<0時，有1>1+2m，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化如下表：

x(-∞，1+2m)1+2m(1+2m，1)1(1，+∞)

f′(x)<00>00<0

f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

故有上表知，當(dāng)m<0時，f(x)在(-∞，1+2m)單調(diào)遞減，

在(1+2m，1)單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.

（I(xiàn)II）由已知得f′(x)>3m，即mx2-2(m+1)x+2>0

又m<0所以x2-2m(m+1)x+2m<0即x2-2m(m+1)x+2m<0，x∈［-1，1］①

設(shè)g(x)=x2-2(1+1m)x+2m，其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒成立，

所以g(-1)<0g(1)<01+2+2m+2m<0-1<0解之得

-43

20．（1）解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x＞1}，

當(dāng)n=2時，f(x)=1(1－x)2+aln(x－1)，

所以f′(x)=2－a(1－x)2(1－x)3.

①當(dāng)a＞0時，由f′(x)=0得

x1=1+2a＞1，x2=1－2a＜1，

此時f′（x）=－a(x－x1)(x－x2)(1－x)3.

當(dāng)x∈（1，x1）時，f′（x）＜0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x1+∞）時，f′（x）＞0，f(x)單調(diào)遞增.

②當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)無極值.

綜上所述，n=2時，

當(dāng)a＞0時，f(x)在x=1+2a處取得極小值，極小值為f(1+2a)=a2(1+ln2a).

當(dāng)a≤0時，f(x)無極值.

（２）證法一：因為a=1，所以

f(x)=1(1－x)n+ln(x－1).

①當(dāng)n為偶數(shù)時，

令g(x)=x－1－1(1－x)n－ln(x－1)，

則g′（x）=1+n(x－1)n+1－1x－1

=x－2x－1+n(x－1)n+1

＞0（x≥2）.

所以當(dāng)x∈［2，+∞］時，g(x)單調(diào)遞增，

又g(2)=0

因此g(x)=x－1－1(x－1)n－ln(x－1)≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x-1成立.

②當(dāng)n為奇數(shù)時，

要證f(x)≤x-1，由于1(1－x)n＜0，所以只需證ln(x-1)≤x-1，

令h(x)=x-1-ln(x-1)，

則h′（x）=1-1x－1=x－2x－1≥0（x≥2），

所以當(dāng)x∈［2，+∞］時，h(x)=x－1－ln(x－1)單調(diào)遞增，又h(2)=1＞0，

所以當(dāng)x≥2時，恒有h(x)＞0，即ln（x-1）＜x-1命題成立.

綜上所述，結(jié)論成立.

證法二：當(dāng)a=1時，f(x)=1(1－x)n+ln(x－1).

當(dāng)x≥2，時，對任意的正整數(shù)n，恒有1(1－x)n≤1，

故只需證明1+ln(x-1)≤x-1.

令h(x)=x－1－(1+ln(x－1))=x－2－ln(x－1)，x∈［2，+∞）

則h′(x)=1－1x－1=x－2x－1，

當(dāng)x≥2時，h′(x)≥0，故h(x)在［2，+∞)上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)x≥2時，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1)≤x-1成立.

故當(dāng)x≥2時，有1(1－x)n+ln(x－1)≤x-1.

即f（x）≤x-1.

