例談解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題之優(yōu)化方法

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考必考內(nèi)容，筆者就解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題的解題方法優(yōu)化問題談一點(diǎn)認(rèn)識(shí)．

例1設(shè)函數(shù)f(x)=12ax2－lnx（其中a為大于零的實(shí)數(shù)），

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）當(dāng)x∈［1，2］時(shí)，不等式f(x)>2恒成立，求a的取值范圍．

解析：第（1）小題容易解答．這里著重看第（2）問，大部分學(xué)生這樣分析：“x∈［1，2］，不等式f(x)>2恒成立”即“求f(x)在區(qū)間［1，2］上的最小值大于2”.過程如下

f′(x)=1ax－1x=x2－aax=(x－a)(x+a)ax，

f(x)在(－∞，－a)上單調(diào)遞增，(－a，a)上單調(diào)遞減，(a，+∞)上單調(diào)遞增.

若a≥2時(shí)，即a≥4，f(x)在區(qū)間［1，2］上單調(diào)遞減，

∴f(x)min=f(2)=2a－ln2>2，

即a<22+ln2與a≥4矛盾舍去.

若1

∴f(x)min=f(a)=12－lna>2，

即0

若a≤1即0

∴f(x)min=f(1)=12a>2，

即0

綜上所述：a的取值范圍(0，14).

上述解法較為繁瑣，若先考慮特殊情況：取x=1，不等式成立，即f(1)=12a>2，解得0

點(diǎn)評：在這里通過取特殊值x=1，將a的范圍縮小到(0，14)時(shí)，不需要分類就可以使問題快速得到處理．

例2設(shè)函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex，a∈R.

若f(x)在［-1，1］上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

解析：函數(shù)f(x)在［-1，1］上是單調(diào)函數(shù)，等價(jià)于函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)≥0（或f′(x)≤0）在［-1，1］上恒成立，再對實(shí)數(shù)a進(jìn)行分類討論，但運(yùn)算量還較大．我們可以通過特殊值x=0確定函數(shù)在［-1，1］單調(diào)遞增，再通過分離參數(shù)避免分類討論，那就是解決這一題的最佳境界了．

解：∵f(x)在［-1，1］上是單調(diào)函數(shù)，

∴f′(x)=ex(ax2+(2a+1)x+1)≥0對x∈［－1，1］恒成立或

f′(x)=ex(ax2+(2a+1)x+1)≤0對x∈［－1，1］恒成立.

又f′(0)=1>0，所以f(x)在［-1，1］上是單調(diào)增函數(shù)，

等價(jià)于ax2+(2a+1)x+1≥0對x∈［－1，1］恒成立.

若x=0，則0≥－1成立，

若x∈［－1，0)，則a≤－x－1x2+2x對x∈［－1，0)恒成立.

若x∈(0，1］，則a≥－x－1x2+2x對x∈(0，1］恒成立，

令g(x)=－x－1x2+2x，x∈［－1，0)∪(0，1］，

g′(x)=x2+2x+2(x2+2x)2>0在［－1，0)，(0，1］上恒成立，

∴g(x)在［－1，0)上遞增，g(x)min=g(－1)=0.

g(x)在(0，1］上遞增，g(x)max=g(1)=－23.

∴－23≤a≤0.

點(diǎn)評：此題通過分離參數(shù)將恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題，不需要討論，減少了解題的運(yùn)算量，提高了解題速度．

例3已知關(guān)于x的二次方程x2+(m－1)x+1=0在區(qū)間［0，2］上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

分析：大部分同學(xué)這樣思考：“二次方程x2+(m－1)x+1=0在區(qū)間［0，2］上有解”，“分類討論方程在區(qū)間［0，2］上恰有一解，二解兩種情形”.事實(shí)上許多同學(xué)在這環(huán)節(jié)的操作上受阻，有學(xué)生就提出疑問“能不能通過分離變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，避免分類討論？”

解：∵二次方程x2+(m－1)x+1=0在區(qū)間［0，2］上有解，

則方程(m－1)x=－x2－1在區(qū)間［0，2］上有解.

若x=0，則0=－1不成立∴x≠0，

若x∈(0，2］時(shí)，m－1=－x－1x有解.

求h(x)=－x－1x在x∈(0，2］上的值域(－∞，－2］，

則m－1≤－2，

即m≤－1.

點(diǎn)評：此題通過分離參數(shù)將方程在某區(qū)間上有解問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)具體函數(shù)在某區(qū)間上的值域問題避開了分類討論，簡化了解題過程．

例4已知f(x)=xlnx

證明：當(dāng)x≥1時(shí)，2x－e≤f(x)恒成立．

分析：部分同學(xué)這樣思考：“(2x－e)max

解：令g(x)=f(x)－2x+e，x∈［1，+∞)，

即g(x)=xlnx－2x+e，g′(x)=lnx－1=0，解得x=e.

x∈(1，e)g(x)單調(diào)遞減，x∈(e，+∞)g(x)單調(diào)遞增.

∴x∈［1，+∞)，g(x)min=g(e)=0，

∴x∈［1，+∞)，g(x)≥g(0)=0.

即當(dāng)x≥1時(shí)，2x－e≤f(x)恒成立．

點(diǎn)評：證明f(x)

反思：從綜合題的解答中，我們看到，原始思路是一塊“璞玉”，它未經(jīng)雕琢，是自然產(chǎn)生的想法，呈現(xiàn)的是一種原始狀態(tài)．因此，大可能含有“瑕疵”，只有經(jīng)過“去粗求精，去偽存真，由此及彼，由表及里”的改造制作功夫，才能獲得“至精至簡”的對問題的本質(zhì)把握，這就要大家舍得花時(shí)間去總結(jié)．

（作者：袁愛玲，江蘇省如皋中學(xué))