函數(shù)應(yīng)用題解題策略

培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重要的目標(biāo)之一，也是高考考查的要求．函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，函數(shù)的重要性表現(xiàn)在思維的深刻性和應(yīng)用的廣泛性．函數(shù)應(yīng)用題按照函數(shù)類(lèi)型來(lái)分有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、反比例函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、勾函數(shù)、分段函數(shù)以及上面各種函數(shù)的組合．

解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵要過(guò)好三關(guān)：一要過(guò)好讀題關(guān)：即認(rèn)真讀題，縝密審題，確切理解問(wèn)題的實(shí)際背景，經(jīng)過(guò)抽象、概括，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，函數(shù)實(shí)際應(yīng)用面較廣，應(yīng)用題文字?jǐn)⑹鲩L(zhǎng)，數(shù)量關(guān)系分散而難以把握，因此加強(qiáng)閱讀理解能力至關(guān)重要；二要過(guò)好建模關(guān)：即合理設(shè)參，尋找條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立相應(yīng)的函數(shù)模型；三是過(guò)好計(jì)算關(guān)：即用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決已建立的函數(shù)模型，使實(shí)際問(wèn)題獲得解決．

函數(shù)應(yīng)用題的一般解題程序是：（1）設(shè)出變量（有的應(yīng)用題變量已經(jīng)給出，不需要設(shè)）．（2）列出關(guān)系式，建立函數(shù)模型（應(yīng)指明自變量的取值范圍）．（3）利用函數(shù)性質(zhì)解出所要求的量（要熟練掌握各類(lèi)函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)工具，會(huì)求函數(shù)的最值、值域等）．（4）回到實(shí)際問(wèn)題中作答（注意檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義）．

下面筆者根據(jù)函數(shù)模型是否給出分三種情況舉例說(shuō)明函數(shù)類(lèi)應(yīng)用題解法．

一、已知函數(shù)模型問(wèn)題

這類(lèi)函數(shù)應(yīng)用題通常在計(jì)算和分析轉(zhuǎn)化能力上要求較高．

例1（2012年江蘇高考）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx－120(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

（1）求炮的最大射程；

（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由．

解析：解決本題關(guān)鍵是要讀懂題目中射程、炮彈擊中飛行物意義并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：（1）求炮的最大射程即求函數(shù)圖像y與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出后應(yīng)用基本不等式求解;（2）求炮彈擊中目標(biāo)時(shí)的橫坐標(biāo)的最大值，可由一元二次方程根的判別式求解．

解(1)令y=0得kx－120(1+k2)x2=0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件可知x>0，k>0．

故x=20k1+k2=201+1k≤10，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．所以炮的最大射程為10千米．

（2）因?yàn)閍>0，所以炮彈擊中目標(biāo)存在k>0，使3.2=ka－120(1+k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k2－20ak+a2+64=0有正根根的判別式 =(－20a)2－4a2(a2+64)≥0a≤6．所以當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí)，可擊中目標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及求解函數(shù)最值問(wèn)題.在利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，要注意取舍，通過(guò)平面幾何圖形考查函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先審清題目，然后建立數(shù)學(xué)模型，接著求解數(shù)學(xué)模型，最后還原為實(shí)際問(wèn)題.

已知函數(shù)模型問(wèn)題應(yīng)根據(jù)題中條件找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)量，列出函數(shù)解析式；再轉(zhuǎn)化為給定定義域上的“給值求值、給定范圍求范圍或最值”問(wèn)題，對(duì)自變量的分類(lèi)很重要！另外求最值或范圍時(shí)要靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)．

二、構(gòu)造函數(shù)模型問(wèn)題

例2（2008江蘇高考）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB＝20km，BC＝10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為ykm.

（1）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)∠BAO= (rad)，將y表示成的韜叵凳姜￥

②設(shè)OP=x(km)，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式

（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短．

解析：本題要求充分利用圖形找出線段之間的關(guān)系，借助三角函數(shù)或勾股定理建立關(guān)系式．本題問(wèn)題（1）給出兩種變量設(shè)法，要求分別建立函數(shù)關(guān)系式，而這兩種不同的函數(shù)關(guān)系式對(duì)后面求最值難度是不一樣的．

解（Ⅰ）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO= (rad)，則OA=AQcos琛糞X)〗=10cos琛糞X)〗，故

OB=10cos琛糞X)〗，又OP＝10－10tan?，?/p>

所以y=OA+OB+OP=10cos琛糞X)〗+10cos琛糞X)〗+10－10tan瑁￥

所求函數(shù)關(guān)系式為y=20－10sin琛肌姜玞os琛糞X)〗+10（0≤琛堋糞X(〗稹肌 4）.

②若OP=x(km)，則OQ＝10－x，所以O(shè)A=OB=（10－x）2+102=x2－20x+200，

所求函數(shù)關(guān)系式為y=x+2x2－20x+200（0≤x≤10）.

（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，

y′=－10cos璺cos瑁 20－10sin瑁ǎ玸in瑁肌姜玞os2琛糞X)〗

=10（2sin瑁 1）cos2琛糞X)〗，

令y′=0得sin =12，因?yàn)?< <稹肌 4，所以 =稹肌 6，

當(dāng)琛剩 0，稹肌 6）時(shí)，y′<0，y是璧募鹺壞辮∈（稹肌 6，稹肌 4）時(shí)，y′>0，y是璧腦齪?，所揖夀p=稹肌 6時(shí)，ymin=10+103．這時(shí)點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB邊1033km處．

點(diǎn)評(píng)：“幾何圖形類(lèi)”函數(shù)問(wèn)題是函數(shù)應(yīng)用題中比較常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題建立函數(shù)模型時(shí)首先要考慮變量的選擇，是選擇長(zhǎng)度還是選擇角度，不同的選擇往往決定了后面求最值的難度．其次要靈活運(yùn)用、充分挖掘幾何里的有關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，主要有勾股定理、相似三角形比例線段、正余弦定理、直角三角形中銳角三角函數(shù)定義（注意正切函數(shù)的運(yùn)用）等．

三、選擇擬合函數(shù)問(wèn)題

例3某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元～1000萬(wàn)元的投資收益，現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案，獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%．

(1)若建立函數(shù)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型的基本要求；

(2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：①y＝x150＋2；②y＝4lgx－3，試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？

解析(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y＝f(x)，則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：

當(dāng)x∈［10，1000］時(shí)，①f(x)是增函數(shù)；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤x5恒成立．

(2)①對(duì)于函數(shù)模型f(x)＝x150＋2；

當(dāng)x∈［10，1000］時(shí)，f(x)是增函數(shù)，

則f(x)max＝f(1000)＝1000150＋2＝203＋2<9，所以f(x)≤9恒成立．

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x＝1150＋2x在［10，1000］上是減函數(shù)，

所以［f(x)x］max＝1150＋15>15.

從而f(x)≤x5不恒成立．

故該函數(shù)模型不符合公司要求．

對(duì)于函數(shù)g(x)=4lgx-3它在［10，1000］上是增函數(shù)

所以g(x)max=g(1000)=9≤9成立