巧用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍

一、分離參數(shù)法求參數(shù)取值范圍在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用

恒成立問(wèn)題能夠很好的考查函數(shù)、不等式等知識(shí)以及化歸等數(shù)學(xué)思想，是一種常考題型．分離參數(shù)法是常用的求參數(shù)取值范圍的策略之一，在恒成立問(wèn)題中常用分離參數(shù)法求參數(shù)取值范圍．a(chǎn)≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要設(shè)法分離參數(shù)，然后求函數(shù)f(x)的最值．

例1當(dāng)0≤x≤12時(shí)，|ax－2x3|≤12恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

思路點(diǎn)撥：本題是恒成立問(wèn)題中求參數(shù)取值范圍，注意到|ax－2x3|≤12中含有絕對(duì)值，先用公式去絕對(duì)值得－12≤ax－2x3≤12，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0，12］上恒成立．此時(shí)要分離參數(shù)a，注意到x的符號(hào)，需對(duì)x是否為0分類(lèi)討論．

解析：10當(dāng)x=0時(shí)，|ax－2x3|≤12恒成立．

20當(dāng)0

a≥2x2－12xa≤2x2+12x在（0，12］恒成立．

令f(x)=2x2－12x，g(x)=2x2+12x則原命題a≥f(x)maxa≤g(x)min

∵0

且f′(x)=4x+12x2>12，

g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．

∴f′(x)>0，g′(x)<0，

∴f(x)在（0，12］上為增函數(shù)，g(x)在（0，12］上為減函數(shù)．

∴f(x)max=f(12)=－12，

g(x)min=g(12)=32.

所以a的取值范圍是［－12，32］．

點(diǎn)評(píng)：分離參數(shù)時(shí)，不等式左右兩端同除以一個(gè)代數(shù)式時(shí)應(yīng)注意其正負(fù)，分離參數(shù)后，函數(shù)的最值常借助于導(dǎo)數(shù)來(lái)求．

二、分離參數(shù)法求參數(shù)取值范圍在二次方程根的分布中的應(yīng)用

在二次方程根的分布問(wèn)題中求參數(shù)的取值范圍，可利用二次方程根的分布知識(shí)建立關(guān)于參數(shù)的不等式組，解之即得所求參數(shù)的取值范圍；若方程中的參數(shù)可以分離，利用分離參數(shù)求解，更為簡(jiǎn)潔．

例2方程x2－2ax+1=0在［12，3］中至少有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

思路點(diǎn)撥：分離參數(shù)a原命題轉(zhuǎn)化為a=12x+12x在［12，3］中至少有一個(gè)根．只需在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)=x2+12x與函數(shù)y=a的圖像，使兩圖像在［12，3］內(nèi)至少有一個(gè)交點(diǎn)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域．

解析：x2－2ax+1=0在［12，3］中至少有一個(gè)根a=12x+12x在［12，3］中至少有一個(gè)根．令f(x)=x2+12x，x∈［12，3］，y=a，畫(huà)出兩函數(shù)圖像如圖所示：

∵f(x)在（12，1］上為減函數(shù)，在［1，3］上為增函數(shù)，

∴f(x)的值域?yàn)椋?，53］．∴f(x)min≤a≤f(x)max，即a∈［1，53］．

點(diǎn)評(píng)：“對(duì)勾函數(shù)”y=ax+bx（a>0，b>0），在（0，ba］為減函數(shù)，在［ba，+∞）上為增函數(shù)．這是非常有用的結(jié)論.二次方程中求參數(shù)的取值范圍，可分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．?dāng)?shù)形結(jié)合，直觀求解．

三、分離參數(shù)法求參數(shù)取值范圍在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題常涉及到求參數(shù)取值范圍．此類(lèi)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題或?qū)嵏植紗?wèn)題來(lái)求解．

例3已知函數(shù)f(x)=(x2－ax+5)ex在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

思路點(diǎn)撥：f(x)在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)遞增可以轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在［0，+∞）上恒成立．分離參數(shù)法可求解．

解析：f(x)在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)遞增f′(x)≥0在［0，+∞）上恒成立．

∵f′(x)=(2x－a)ex+(x2－ax+5)ex=ex(x2－ax+2x－a+5)=ex［x2+(2－a)x+5－a］

∴ex［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0，+∞）上恒成立．

原命題x2+(2－a)x+5－a≥0在［0，+∞）上恒成立．

方法一：（轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題）

x2+(2－a)x+5－a≥0在［0，+∞）上恒成立．

a(x+1)≤x2+2x+5在［0，+∞）上恒成立．

注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0，+∞）上恒成立．

令g(x)=x2+2x+5x+1，則原命題a≤g(x)min，下求g(x)在［0，+∞）上的最小值．

g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1時(shí)，

即x=1時(shí)g(x)min=4，所以得a的取值范圍a≤4．

方法二：（轉(zhuǎn)化為二次方程實(shí)根分布問(wèn)題）

10當(dāng)摹 0即－4≤a≤4時(shí)，f′(x)≥0在［0，+∞）恒成立．∴f(x)在［0，+∞）上單調(diào)遞增．

20當(dāng) >0即a>4或a<－4時(shí)，a－22<0f(0)≥0a<－4

綜上得a的取值范圍是a≤4．

求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，我們常常利用轉(zhuǎn)化的思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的恒成立問(wèn)題或二次方程根的分布問(wèn)題，巧妙分離參數(shù)，求參數(shù)范圍問(wèn)題往往能夠順利地解決．

