從2012年高考看函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)

解析：在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=82m+1(m＞0)，y=|log2x|圖像如圖，由|log2x|=m，得x1=2－m，x2=2m，由|log2x|=82m+1，得x3=2-82m+1，x4=282m+1．

依照題意得

a=|2-m-2-82m+1|，b=|2m-282m+1|，ba=|2m-282m+1||2-m-2-82m+1|=2m282m+1=2m+82m+1．

∵m+82m+1=m+12+4m+12－12≥4－12=312（當(dāng)且僅當(dāng)m=32時取等號）.

∴(ba)min=82．故選B．

點(diǎn)評：在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=82m+1(m＞0)，y=|log2x|圖像，結(jié)合圖像可解得．

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x12－(12)x在定義域［0，+∞)上是增函數(shù)，且f(0)=－1<0，f(1)=1－12=－12<0，所以由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理知f(x)=x12－(12)x存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0∈(0，1)，故選B．

點(diǎn)評：應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，當(dāng)滿足條件f(a)?f(b)<0時，為了保證y=f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個零點(diǎn)，我們必須說明y=f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)．

例4(2012高考湖南)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2鸕吶己琭′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈［0，穡菔保 0＜f(x)＜1；當(dāng)x∈（0，穡 且x≠稹肌 2時，(x－稹肌 2)f′(x)>0，則函數(shù)y=f(x)－sinx在［-2穡 2穡 上的零點(diǎn)個數(shù)為()

A．2B．4C．5D．8

解析：由當(dāng)x∈（0，穡 且x≠稹肌 2時，(x－稹肌 2)f′(x)>0，知x∈［0，稹肌 2）時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；x∈(稹肌 2，穡菔?，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)．又x∈［0，穡菔保 0＜f(x)＜1，在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2鸕吶己?，灾I蛔晗抵兇鞒鰕=sinx和y=f(x)草圖像如下，由圖知y=f(x)－sinx在［-2穡 2穡 上的零點(diǎn)個數(shù)為4個．

點(diǎn)評：當(dāng)所給函數(shù)不單調(diào)且對應(yīng)方程無法直接解出時，往往可利用函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)圖像，進(jìn)而從圖像中直接“讀出”答案．本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、圖像及兩個圖像的交點(diǎn)問題．

方法技巧提煉：

判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體問題靈活處理，當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無法判斷時可畫出圖像判斷．

三、深刻領(lǐng)會導(dǎo)數(shù)的幾何意義，熟練掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的通用、有效的工具．用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，可以幫助我們進(jìn)一步理解函數(shù)概念和性質(zhì)，同時為我們解決函數(shù)問題開辟了一條“綠色通道”．導(dǎo)數(shù)是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)依然是高考的命題熱點(diǎn)，主要考點(diǎn)有簡單的函數(shù)求導(dǎo)和利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線斜率；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題等．

例5（2012高考遼寧理）設(shè)f(x)=ln(x+1)+x+1+ax+b(a，b∈R，a，b為常數(shù))，曲線y=f(x)與直線y=32x在(0，0)點(diǎn)相切．

（1）求a，b的值；（2）證明：當(dāng)0

解析:（1）由y=f(x)的圖像過點(diǎn)(0，0)，代入得b=-1，

由y=f(x)在(0，0)處的切線斜率為32，又y′|x=0=(1x+1+12x+1+a)x=0=32+a＝32，得a=0.

（2）由均值不等式，當(dāng)x>0時，2(x+1)?1

記h(x)=f(x)－9xx+6，則

h′(x)=1x+1+12x+1-54(x+6)2

=2+x+12(x+1)-54(x+6)2

=(x+6)3-216(x+1)4(x+1)(x+6)2.

令g(x)=(x+6)3－216(x+1)，則當(dāng)0

因此g(x)在(0，2)內(nèi)是減函數(shù)，又由g(0)=0，得g(x)<0，所以h′(x)<0，

因此h(x)在(0，2)內(nèi)是減函數(shù)，又由h(0)=0，得h(x)<0，

于是當(dāng)0

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的切線及恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，有一定的難度．

例6（2012高考安徽理）設(shè)f(x)=aex+1aex+b(a>0)．（I(xiàn)）求f(x)在［0，+∞)上的最小值；（I(xiàn)I）設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(2，f(2))的切線方程為y=32x；求a，b的值．

解析：（I(xiàn)）設(shè)t=ex(t≥1)，則y=at+1at+by′=a－1at2=a2t2－1at2，

①當(dāng)a≥1時，y′>0y=at+1at+b在t≥1上是增函數(shù)，

則當(dāng)t=1(x=0)時，f(x)的最小值為a+1a+b．

②當(dāng)0

當(dāng)且僅當(dāng)at=1(t=ex=1a，x=－lna)時，等號成立故f(x)的最小值為b+2．

（I(xiàn)I）f(x)=aex+1aex+bf′(x)=aex－1aex，

由題意得：f(2)=3f′(2)=32ae2+1ae2+b=3ae2－1ae2=32a=2e2b=12．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等基本方法，考查分類討論思想，代數(shù)恒等變形能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力．

方法技巧提煉：

1．求函數(shù)的最值可分為以下幾步：①求出可能的極值點(diǎn)，即f′(x)＝0的解x0；②確定極值點(diǎn)并求出極值；③將（a，b）內(nèi)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值；當(dāng)f(x)在（a，b）內(nèi)只有一個極值點(diǎn)時，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大（小）值，則可以確定f(x)在該點(diǎn)處了取到最大（?。┲?；2．利用求導(dǎo)方法討論函數(shù)的單調(diào)性，要注意以下幾方面：①f′(x)＞0是f(x)遞增的充分條件而非必要條件（f′(x)＜0亦是如此）；②求單調(diào)區(qū)間時，首先要確定定義域；然后再根據(jù)f′(x)＞0（或f′(x)＜0）解出在定義域內(nèi)相應(yīng)的x的范圍；③在證明不等式時，首先要構(gòu)造函數(shù)和確定定義域，其次運(yùn)用求導(dǎo)的方法來證明；3．函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題往往在壓軸題處出現(xiàn)，解決這類問題要注意：(1)綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法來分析解決問題；(2)及時地進(jìn)行思維的轉(zhuǎn)換，將問題等價轉(zhuǎn)化；(3)不等式證明的方法多，應(yīng)注意恰當(dāng)運(yùn)用，特別要注意放縮法的靈活運(yùn)用；(4)要利用導(dǎo)數(shù)這一工具來解決函數(shù)的單調(diào)性與最值問題．

（作者：王佩其，江蘇省太倉高級中學(xué))