源于拓展與延伸的中考綜合題

函數(shù)與幾何圖形的綜合題，從注重二次函數(shù)及幾何圖形性質(zhì)、動手操作的說理計算，發(fā)展到基于函數(shù)、幾何圖形互為載體的動態(tài)探究題，成為近年各地中考的亮麗風(fēng)景和必考題型，這類試題的難度系數(shù)大多在0.2左右.

盡管中考綜合題、壓軸題年年創(chuàng)新，但基本的、典型的問題仍來源于典型基本題，往往以某一典型題為母題，進行發(fā)散、變式、拓展與延伸，或變條件、變結(jié)論、變圖形、變式子、變表達方式，或變問題的情境等，進而對相關(guān)函數(shù)或幾何圖形進行探究.

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如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為■的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點C的坐標(biāo)為（-1，0），點B在拋物線y=ax2+ax-2上．

（1）求點A，B的坐標(biāo).

（2）求拋物線的解析式.

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■ 因為OC=1，AC=■，所以AO=■=2. 所以點A的坐標(biāo)為（0，2）. 過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，因為∠BCD＋∠ACO=90°，∠ACO＋∠OAC=90°，所以∠BCD=∠OAC. 因為△ABC為等腰直角三角形， 所以BC=AC. 在△BDC和△COA中，∠BDC=∠COA=90°，∠BCD=∠OAC，BC=AC，所以△BDC≌△COA. 所以BD=CO=1，CD=OA=2. 因為C （-1，0），所以點B的橫坐標(biāo)為-3. 所以點B的坐標(biāo)為 （-3，1）.

（2）把B（-3，1）代入y=ax2+ax-2，得1=9a-3a-2，解得a=■，所以拋物線的解析式為y=■x2+■x-2.

變式1 （2011青海西寧）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點C為 （-1，0）． 如圖2所示，點B在拋物線y=■x2+■x－2的圖象上，過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，且點B的橫坐標(biāo)為-3．

（1）求證：△BDC≌△COA.

（2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式.

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

■ 本題以原型1中的背景圖為載體，對原型1中部分條件、結(jié)論進行替換，如由已知等腰三角形的腰長換為已知點B的橫坐標(biāo)等，其中所蘊涵的信息（等腰直角三角板、拋物線）、解題思路、數(shù)學(xué)方法仍清晰可見，但本題在原型1的基礎(chǔ)上推陳出新，構(gòu)思巧妙，進一步結(jié)合三角板引入一次函數(shù)和相關(guān)圖形問題（探究直角三角形）.

■ （1）因為∠BCD＋∠ACO=90°，∠ACO＋∠OAC=90°，所以∠BCD=∠OAC. 因為△ABC為等腰直角三角形， 所以BC=AC. 在△BDC和△COA中，∠BDC=∠COA=90°，∠BCD=∠OAC，BC=AC，所以△BDC≌△COA.

（2）因為點C的坐標(biāo)為 （-1，0），所以BD=CO=1. 因為點B的橫坐標(biāo)為-3，所以點B的坐標(biāo)為 （-3，1）. 設(shè)BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx＋b，由條件有－k+b=0，－3k+b=1， 解得k=-■，b=-■. 所以BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y= -■x-■.

（3）存在. 因為二次函數(shù)解析式為y=■x2+■x－2，所以y=■x2+■x－2=■x+■2－■. 所以對稱軸為直線x=－■.

①若以AC為直角邊，點C為直角頂點，設(shè)對稱軸上有一點P1，使CP1⊥AC. 因為BC⊥AC，所以點P1為直線BC與對軸稱直線x=－■的交點. 由題意可得y=-■x-■，x=-■， 解得x=-■，y=-■. 所以P1－■，－■.

②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則對稱軸上有一點P2，使AP2⊥AC，可過點A作AP2∥BC，交對稱軸直線x=－■于點P2. 因為CD=OA，所以A（0，2）. 由題意得直線AP2的解析式為y=－■x+2. 由 y=-■x+2，x=-■ 解得x=-■，y=■， 所以P2－■，■.

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，且點P的坐標(biāo)可為P1－■，－■，P2－■，■.

變式2 （2011湖南株洲）孔明是一個喜歡探究、鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究拋物線y=ax2（a<0）的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標(biāo)系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A，B兩點，請解答以下問題：

（1）若測得OA=OB=2■（如圖3），求a的值.

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（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到圖4所示位置時，過點B作BF⊥x軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B的坐標(biāo)，并求點A的橫坐標(biāo).

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（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A，B的連線段總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標(biāo)．

■ 本題仍借助原型1中的信息，只不過對拋物線與三角板重新擺放操作， 其中（1）小題構(gòu)建了兩三角形的全等關(guān)系，當(dāng)直角三角板繞直角頂點O進行旋轉(zhuǎn)時，（2）小題演變?yōu)閮扇切蔚南嗨脐P(guān)系. 同時本題在旋轉(zhuǎn)操作中作了進一步延伸與拓展：三角板與拋物線的交點所在直線始終通過的定點問題可轉(zhuǎn)化為求解直線解析式中系數(shù)b的問題.

■ （1）設(shè)線段AB與y軸的交點為C，由拋物線的對稱性可得點C為AB中點. 因為OA=OB=2■，∠AOB=90°，所以AB=4，AC=OC=BC=2. 所以B（2，-2）. 將B（2，-2）代入拋物線y=ax2（a<0）得a=－■.

（2）過點A作AE⊥x軸于點E，因為點B的橫坐標(biāo)為1，所以B1，－■. 所以BF=■.因為∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∠AEO=∠OFB=90°，所以△AEO∽△OFB. 所以■=■=■=2. 所以AE=2OE. 設(shè)點A－m，－■m2（m＞0），則OE=m，AE=■m2. 所以■m2=2m，解得m=4，即點A的橫坐標(biāo)為-4.

（3）要判斷交點所在的直線是否通過某一定點，關(guān)鍵是觀察與求解直線所在解析式的特征.

設(shè)A－m，－■m2（m＞0），Bn，－■n2（n＞0），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則－mk+b=－■m2， ①nk+b=－■n2. ②

①×n+②×m得（m+n）b=－■（m2n+mn2）=－■mn（m+n），所以b=－■mn. 又易知△AEO∽△OFB，所以■=■，即■=■，解得mn=4. 所以b=－■×4=－2. 由此可知，不論k為何值，直線AB恒過點（0，-2）.