源于拓展與延伸的中考函數(shù)題

函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，是解決實際問題的重要工具，也是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)，是每年中考的必考內(nèi)容. 這一部分的試題主要以選擇題、填空題、簡單實際應(yīng)用題、壓軸題（綜合題）等形式出現(xiàn)，占整個試卷分值的15%～20%.

根據(jù)對2011年課改區(qū)中考命題特點的分析，可以預測，2012年全國中考數(shù)學“函數(shù)”的命題熱點及趨勢如下：將在重點考查基礎(chǔ)知識、基本技能的基礎(chǔ)上，進一步強化同學們運用函數(shù)知識解決簡單實際問題和綜合應(yīng)用的能力.

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圖1是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸的一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c<0的解集是______.

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■ 由圖象得該二次函數(shù)的對稱軸是x=1，其圖象與x軸的一個交點為（3，0），所以圖象與x軸的另一個交點為（-1，0）. ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集. 利用圖象可知，當y<0時，-1＜x＜3，故答案為-1＜x＜3.

變式1 （2011山東威海）二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象如圖2所示，當y＜0時，自變量x的取值范圍是（ ）

A． －1＜x＜3 B． x＜－1

C． x＞3?搖 D． x＜－3或x＞3

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■ 此題是以原型1的函數(shù)圖象為載體，對原型1中的部分條件進行適當?shù)靥鎿Q：由原型1中的已知對稱軸及與x軸一個交點的坐標轉(zhuǎn)換成變式1中已知函數(shù)解析式，解題思路仍沿襲原型1中的數(shù)形結(jié)合思想.

■ 當y＜0時，二次函數(shù)的圖象在x軸下方，此時－1＜x＜3. 故答案為A.

變式2 （2011山東日照）圖3是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b>2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為－3和1；④a－2b+c>0． 其中正確的命題是______．

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■ 此題仍與原型1一樣，以函數(shù)圖象為載體，并對原型1的結(jié)論進行拓展和延伸. 把原型1中的結(jié)論——對圖象單一分析（分析函數(shù)圖象在x軸以下部分x的取值范圍）轉(zhuǎn)化成變式2中對圖象的多角度分析（分析a，b，c的符號，圖象經(jīng)過的已知點，對稱軸位置及圖象與x軸的交點）.

■ ①由圖象可知二次函數(shù)的圖象過（1，0），所以a+b+c=0. 故①正確. ②由圖象可知二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝-1，因此由－■=－1可推出b=2a. 故②錯誤.③根據(jù)圖象關(guān)于對稱軸x＝-1對稱和過（1，0），得出圖象與x軸的另一個交點是（-3，0）. 故③正確. ④由圖象可知二次函數(shù)的圖象開口向上，故a>0. 所以b=2a>0. 所以a－2b+c=a+b+c－3b=－3b＜0. 故④錯誤. 所以答案為①③.

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2011年，在國家央行加息的壓力下，某公司決定研制一種新型節(jié)能產(chǎn)品并加以銷售，現(xiàn)準備在一線城市和二線城市兩個不同地方按不同銷售方案進行銷售，以便開拓市場． 若只在一線城市銷售，銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數(shù)關(guān)系式為y=－■x+150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設(shè)月利潤為 W■（元）． 若只在二線城市銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù)，10≤a≤40），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納■x2元的附加費，設(shè)月利潤為 W■（元）．

（1）當x=1000時，y=_____?搖元/件，W■=?搖_____元.

（2）分別求出 W■，W■與x間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x的取值范圍）.

（3）當x為何值時，在一線城市銷售的月利潤最大？若在二線城市銷售，月利潤的最大值與在一線城市銷售月利潤的最大值相同，求a的值.

（4）如果某月要將5 000件產(chǎn)品全部銷售完，請你通過分析，幫公司決策，選擇在二線城市還是在一線城市銷售才能使所獲月利潤較大？

■ （1）當x=1000時，y=140，W■=－■x+150-20x-62500=120×1000-62500=57500.

（2）依題意，得W■=x（y-20）-62500=－■x2+130x-62500，W■=（150-a）x－■x2.

（3）當x=－■=6500時，W■最大. 由題意得，■=■，解得a■=30，a■=270（舍去），所以a=30.

（4）當x=5000時，W■=337500，W■=-5000a+500000． 若W■＜W■，則a＜32.5；若W■=W■，則a=32.5；若W■＞W(wǎng)■，則a＞32.5． 所以，當10≤a＜32.5時，選擇在二線銷售；當a=32.5時，在一線和二線銷售都一樣；當32.5＜a≤40時，選擇在一線銷售．

變式1 （2011天津）某商品現(xiàn)在的售價為每件35元，每天可賣出50件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每降價1元，每天可多賣出2件． 請你幫助分析，當每件商品降價多少元時，可使每天的銷售額最大，最大銷售額是多少. 設(shè)每件商品降價x元，每天的銷售額為y元．

（1）請補充完整以下表格：

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（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出問題的解.

■ 此題以原型2中的商品銷售情景為背景，并把原型1中的部分條件和結(jié)論改變. 如把原型1中直接已知的一次函數(shù)關(guān)系的形式y(tǒng)=－■x+150替換成“每降價1元，每天可多賣出2件”的規(guī)律形式. 規(guī)律中蘊涵銷售量與售價之間的一次函數(shù)關(guān)系.

■ （1）

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（2）根據(jù)題意，每天的銷售額為y=（35－x）（50+2x）（0

變式2 （2011四川南充）某工廠在生產(chǎn)過程中要消耗大量電能，消耗每千度電產(chǎn)生利潤與電價是一次函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過測算，工廠產(chǎn)生利潤y（元/千度）與電價x（元/千度）的函數(shù)圖象如圖4所示.

（1）當電價為600元/千度時，工廠消耗每千度電產(chǎn)生的利潤是多少？

（2）為了實現(xiàn)節(jié)能減排目標，有關(guān)部門規(guī)定，該廠電價x（元/千度）與每天用電量m（千度）的函數(shù)關(guān)系為x=10m+500，且該工廠每天用電量不超過60千度，為了獲得最大利潤，工廠每天應(yīng)安排使用多少度電？工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤最大是多少元？

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■ 此題的第（1）問變原型2中的直接給出銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數(shù)關(guān)系式為通過函數(shù)圖象求出利潤y（元/千度）與電價x（元/千度）的函數(shù)關(guān)系式.

■ （1）設(shè)工廠產(chǎn)生利潤y（元/千度）與電價x（元/千度）的函數(shù)解析式為y=kx+b. 因為該函數(shù)圖象過點（0，300），（500，200），所以500k+b=200，b=300， 解得k=－■，b=300. 所以y=-■x+300（x≥0）. 當電價x=600元/千度時，該工廠消耗每千度電所產(chǎn)生的利潤y=－■×600+300=180元/千度.

（2）設(shè)工廠每天消耗電產(chǎn)生的利潤為w元，由題意得w=my=m－■x+300=m－■（10m+500）+300= -2（m-50）2+5000.

由題意知m≤60，所以當m=50時，w■=5000. 所以當工廠每天消耗50千度電時，工廠每天消耗電產(chǎn)生的利潤最大，且為5000元.