對(duì)一道中考應(yīng)用題的評(píng)析

2011年浙江衢州初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試卷第21題是一道由浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第二章一元二次方程的應(yīng)用P36頁(yè)的例題改編而成的，這是一道很普通的常規(guī)應(yīng)用題，令人意想不到的是，同學(xué)們的解法多達(dá)幾十種，可謂是解應(yīng)用題中的一大奇觀．下面是筆者在閱卷過(guò)程中整理出來(lái)的一些比較典型的解法．

某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)每盆的贏利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系． 每盆植入3株時(shí)，平均單株贏利3元；以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株贏利就減少0.5元．要使每盆的贏利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？

小明的解法如下：設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，平均單株贏利為（3-0.5x）元． 由題意得（x+3）·（3－0.5x）=10，化簡(jiǎn)整理得x2－3x+2=0，解這個(gè)方程得x■=1，■x■=2，所以要使每盆的贏利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植4株或5株．

（1）本題涉及的主要數(shù)量有每盆花苗株數(shù)，平均單株贏利，每盆花苗的贏利等，請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)不同的等量關(guān)系：

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（2）請(qǐng)用一種與小明不同的方法求解上述問(wèn)題．

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（1）平均單株贏利×株數(shù)=每盆贏利；平均單株贏利=3-0.5×每盆增加的株數(shù)；每盆的株數(shù)=3+每盆增加的株數(shù).

（2）解法1

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所以要使每盆的贏利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植4株或5株．

解法2 如圖1，縱軸表示平均單株贏利，橫軸表示株數(shù)，則相應(yīng)長(zhǎng)方形的面積表示每盆贏利．

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從圖象可知，每盆植入4株或5株時(shí)，相應(yīng)長(zhǎng)方形的面積都是10，所以要使每盆的贏利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植入4株或5株．

解法3 設(shè)每盆花苗增加x株時(shí)，每盆贏利y元，根據(jù)題意得y=（x+3）（3-0.5x）. 當(dāng)y=10時(shí)，（x+3）（3-0.5x）=10，解略．

解法4 設(shè)每盆花苗增加x株，則根據(jù)■=單株贏利知，當(dāng)每盆贏利為10元時(shí)有■=3－0.5x，解略．

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本題取材于教材，試題在背景呈現(xiàn)上貼近社會(huì)現(xiàn)實(shí)，以一元二次方程、分式方程、函數(shù)等為知識(shí)載體，考查的核心是從現(xiàn)實(shí)情景中提取信息、分析數(shù)據(jù)、建立數(shù)學(xué)模型的思想和能力． 試題開(kāi)放度大，加上題目中已給出了小明的一種解法，告訴了同學(xué)們答案，使得同學(xué)們的思路更加開(kāi)闊．

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第（2）小題除了參考答案中給出的4種解法外，在閱卷過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)同學(xué)們有下面一些比較典型的解法．

解法5 設(shè)每盆應(yīng)植入x株，依題意得x［3－0.5（x－3）］=10，解略.

解法6 設(shè)每盆應(yīng)植入x株， 依題意得0.5（x－3）=3－■，解略.

解法6利用的是分式方程，與整式方程相比，屬兩種不同的類(lèi)型與方法，用到的等量關(guān)系也不一樣． 分式方程還要求驗(yàn)根，整式方程與分式方程在思維層次上也有區(qū)別．

解法7 設(shè)平均單株贏利為x元，依題意得x3+■=10，解得x■=2，x■=2.5. 而■=2，■=1，所以每盆應(yīng)增加2株或1株，答略．

間接設(shè)未知數(shù)是解應(yīng)用題的常用方法．間接設(shè)未知數(shù)法與直接設(shè)未知數(shù)法這兩種方法思考問(wèn)題的角度不同，間接設(shè)未知數(shù)有時(shí)會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，比直接設(shè)未知數(shù)更容易找到等量關(guān)系．

解法8 設(shè)平均單株贏利為x元，依題意得3－0.5■－3=x，解略．

設(shè)同樣的未知數(shù)，利用不同的等量關(guān)系可以得到不同的方程．

解法9 設(shè)平均單株的贏利減少x元，依題意得（3－x）3+■=10，解略．

變換設(shè)未知數(shù)的方法，有時(shí)可以使方程變得更簡(jiǎn)捷．

解法10 設(shè)每盆花苗增加x株，每盆花苗有y株，由題意得y=x+3，y（3－0.5x）=10， 解略．

這是一個(gè)二元二次方程組，但是比較特殊，可以用代入法直接消去一個(gè)未知數(shù).

解法11 設(shè)每盆花苗增加x株，平均單株贏利為y元，由題意得（x+3）y=10，y=3－0.5x， 解略.

此解法與解法10類(lèi)似，只是等量關(guān)系不同．

解法12 設(shè)平均單株贏利為x元，每盆花苗有y株，由題意得xy=10，x=3－0.5（y－3）， 解略．

這是一個(gè)二元二次方程組，雖然知識(shí)本身已超出課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，但只要具備解二元一次方程組和解一元二次方程的知識(shí)，利用代入消元法消去一個(gè)未知數(shù)后化為一個(gè)一元二次方程就能解決．

解法13 設(shè)每盆花苗增加x株，由題意得3－■=0.5x，解略．

同樣是分式方程，但是不同的等量關(guān)系可以得到不同的方程.

解法14 設(shè)每盆應(yīng)植入x株，根據(jù)題意得3＜x＜9（因?yàn)閤=9時(shí)贏利已經(jīng)為0），x為整數(shù)且平均單株的贏利■是0.5的倍數(shù)，所以x=4或x=5． 答略.

上述方法解題的本質(zhì)是求滿(mǎn)足條件的不等式的正整數(shù)解，可見(jiàn)同學(xué)們的思路是十分廣闊的．

解法15 設(shè)每盆應(yīng)植入x株，平均單株的贏利為y元，依題意得xy=10 （其中x為正整數(shù)， 0

利用不定方程求解，過(guò)程簡(jiǎn)捷、明了，可謂巧妙之極．

解法16 設(shè)每盆應(yīng)植入x株，每盆的贏利為y元，依題意得y=x［3－0.5（x－3）］，當(dāng)y=10時(shí)，x［3－0.5（x－3）］=10，解得x■=4，x■=5，答略．

用函數(shù)的方法求解，不僅可以求出贏利為10元時(shí)每盆應(yīng)植入的株數(shù)，還可以求出贏利為任意元時(shí)每盆應(yīng)植入的株數(shù)． 這也是求贏利問(wèn)題的一種通法．

解法17 設(shè)每盆應(yīng)植入x株，平均單株的贏利為y元，則x，y滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=kx+b①. 依題意知，當(dāng)x=3時(shí)， y=3；當(dāng)x=4時(shí)， y=2.5. 代入①可求得k=－0.5，b=4.5，所以y=－0.5x+4.5. 由（－0.5x+4.5）x=10解得x■=4，■x■=5，答略．

每盆植入的株數(shù)與平均單株的贏利之間確實(shí)存在一次函數(shù)關(guān)系，先求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，再利用等量關(guān)系：平均單株的贏利×每盆株數(shù)＝每盆贏利，問(wèn)題得到解決．

解法18 列表格法

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從表格可看出，每盆應(yīng)植4株或5株．

用列表的方法解決，簡(jiǎn)潔、明了．這種方法的實(shí)質(zhì)是用列舉的方法尋找規(guī)律．

解法19 設(shè)每盆應(yīng)植入x株，每盆的贏利為y=ax2+bx+c元，依題意知，當(dāng)x=3時(shí)， y=9；當(dāng)x=4時(shí)， y=10；當(dāng)x=5時(shí)， y=10. 代入y=ax2+bx+c可求得a=－0.5，b=4.5，c=0，所以y=－0.5x2+4.5x. 當(dāng)y=10時(shí)，解得x■=4，■x■=5，答略．

因?yàn)槊颗柃A利＝平均單株的贏利×每盆株數(shù)，而平均單株的贏利與每盆株數(shù)有一次函數(shù)關(guān)系，因此，每盆贏利與每盆株數(shù)之間存在二次函數(shù)的關(guān)系，先求出這個(gè)二次函數(shù)關(guān)系式，再求出函數(shù)值為10時(shí)的x的值即可解決問(wèn)題．

解法20 設(shè)每盆花苗增加x株，由題意得3－0.5x>0，x>0， 解得0

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所以每盆植入4株或5株時(shí)，每盆贏利可達(dá)10元．

平均單株的贏利要大于零，每盆增加的株數(shù)要大于零，因此，通過(guò)解不等式組，可求出滿(mǎn)足條件的x的正整數(shù)解，再求出x取這些正整數(shù)時(shí)相應(yīng)的每盆贏利，問(wèn)題即可得到解決．

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本題滿(mǎn)分8分，電腦統(tǒng)計(jì)全部同學(xué)的平均得分3.45分，難度系數(shù)0.43． 本題閱卷結(jié)果有三點(diǎn)出乎命題組的意料，一是難度系數(shù)只有0.43，與預(yù)測(cè)的0.75相距甚遠(yuǎn)；二是沒(méi)料到同學(xué)們的解法有如此之多；三是同學(xué)們的錯(cuò)誤也五花八門(mén)，有幾十種之多，以至于有些解法確實(shí)錯(cuò)了，但不知錯(cuò)在哪里． 命題組把8分的題目分成兩個(gè)小題，第（1）小題讓同學(xué)們寫(xiě)出兩個(gè)不同的等量關(guān)系，意圖是為解決第（2）小題作鋪墊，以降低難度，提高得分率． 而事件發(fā)生的結(jié)果并沒(méi)有像命題組預(yù)料的那樣，本題分成兩個(gè)小題以后，不僅沒(méi)有提高得分率，反而增加了難度，據(jù)閱卷組的不完全統(tǒng)計(jì)，大約有近百分之四十的同學(xué)只寫(xiě)對(duì)了一個(gè)等量關(guān)系．不少同學(xué)寫(xiě)出來(lái)的兩個(gè)等量關(guān)系為“平均單株贏利×株數(shù)=每盆贏利”與“每盆贏利÷平均單株贏利=株數(shù)”，參考答案認(rèn)為是同一個(gè)等量關(guān)系． 而在第（2）小題用與小明不同的方法解應(yīng)用題時(shí)，上述兩個(gè)等量關(guān)系列出來(lái)的方程又被視作兩種不同的方法．

另一方面，由于最容易解的一種方法已被小明用了，要求同學(xué)們用不同于小明的方法解題，顯然增加了難度． 一位教研員開(kāi)玩笑說(shuō)：本來(lái)同學(xué)們對(duì)應(yīng)用題就很怕，更何況，最容易的一種方法已經(jīng)用掉了，要讓同學(xué)們另辟蹊徑，這不是為難同學(xué)們嘛． 事實(shí)上，同學(xué)們產(chǎn)生錯(cuò)誤如此之多的另一個(gè)原因是，他們從小明的解法中已經(jīng)知道了答案，于是不會(huì)解時(shí)就開(kāi)始亂湊，以至于產(chǎn)生了下面一些典型的湊答案的錯(cuò)誤.

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錯(cuò)解1 設(shè)每盆應(yīng)植入x株，依題意得3×3+（x－3）（3－0.5x）=10，解得x■=4，x■=5，答略．

出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的同學(xué)為數(shù)不少．解方程的結(jié)果是正確的，答案也和參考答案一樣，但仔細(xì)分析一下就能發(fā)現(xiàn)方程中的（x－3）（3－0.5x）是有問(wèn)題的，前面的x和后面的x所表示的意義不同，（x-3）中的x表示的是每盆應(yīng)植入的株數(shù)，而（3－0.5x）中的x表示的是每盆應(yīng)增加的株數(shù)． 這里，同學(xué)們運(yùn)用的等量關(guān)系是：原來(lái)每盆贏利＋增加的贏利＝后來(lái)每盆贏利，增加的贏利＝增加的株數(shù)×平均單株贏利． 問(wèn)題就出在第二個(gè)等量關(guān)系．

錯(cuò)解2 ■=2，2+3=5，■=4，答略．

（10－3×3）表示每盆增加的贏利，而0.5是平均單株減少的贏利，兩者是不能相除的．

錯(cuò)解3 設(shè)每盆花苗增加x株，因?yàn)?0－3×3=1，所以3－0.5x≥1，解得x≤2. 因?yàn)橼A利＞0，所以0

由10－3×3=1得到的1是每盆增加的贏利，3－0.5x≥1中的1是單株贏利，兩者不能相提并論，而且解方程也出錯(cuò)了．

錯(cuò)解4 10÷3≈3.3（不合題意）；10÷（3-0.5）=4；10÷（3-1）=5；10÷（3-1.5）≈6.7（不合題意）． 答略．

這是一種嘗試法．當(dāng)每盆贏利為10元時(shí)，平均單株的贏利從3元減少到1.5元時(shí)，只有兩種情況符合要求． 如果繼續(xù)往后推，有10÷（3-2）＝10，也就是說(shuō)，平均單株的贏利為1元時(shí)，應(yīng)植入10株． 但事實(shí)上，如果每盆植入10株，平均單株的贏利就要減少0.5×（10－3）＝3.5元，此時(shí)實(shí)際平均單株的贏利為3-3.5＝-0.5元，這就出現(xiàn)了矛盾．