數(shù)學(xué)思想在勾股定理中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)思想是溝通數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系，是產(chǎn)生問(wèn)題思路的想法. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)解決問(wèn)題，這些都離不開數(shù)學(xué)思想. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的生命與靈魂，是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.

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分類思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是針對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的共性與差異性將其分為不同種類，從而克服思維的片面性，有效地反應(yīng)思維的全面性與嚴(yán)謹(jǐn)性的思想方法. 分類要做到不重不漏，從而獲得完整的解答.

■ 如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3 cm和4 cm，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是多少？（精確到0.1cm）

■ 這是華東師大版初中二年級(jí)（八年級(jí)）（上）（2010年7月第八次印）P51練習(xí)中的第2題. 本題只知道3 cm與4 cm是直角三角形的兩邊長(zhǎng)，并沒(méi)有說(shuō)明它們都是直角邊，因此長(zhǎng)度為4 cm的邊可以是直角邊，也可以是斜邊，故需分類討論.

■ （1）當(dāng)4 cm為直角邊的長(zhǎng)時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為■=5 cm，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為3＋4＋5=12 cm.

（2）當(dāng)4 cm為斜邊的長(zhǎng)時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為■=■cm，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為3+4+■≈9.6 cm.

綜上可知，這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為12 cm或約為9.6 cm.

■ （2010浙江東陽(yáng)）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（ ）

A. 40° B. 40°或100°

C. 100° ?搖 D. 70°或50°

■ 此內(nèi)角是等腰三角形的頂角還是底角，不確定，故需要分類討論. 當(dāng)40°為底角時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°容易知道頂角為100°；當(dāng)40°為頂角時(shí)，顯然頂角為40°. 綜上可知，該等腰三角形的頂角為40°或100°.

■ B.

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方程思想是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，從而使問(wèn)題得到解決的思維方法.

■ 如圖1，在矩形ABCD中，AB=5 cm，在邊CD上適當(dāng)選定一點(diǎn)E，沿直線AE把△ADE折疊，使點(diǎn)D恰好落在邊BC上一點(diǎn)F處，且△ABF的面積是30 cm2，求此時(shí)DE的長(zhǎng).

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■ 幾何問(wèn)題常?？赊D(zhuǎn)化為方程問(wèn)題進(jìn)行解決，本題可根據(jù)勾股定理列出方程，通過(guò)解方程得到答案.

■ 設(shè)DE=x cm，則CE=（5-x）cm，EF=x cm. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠B=90°，BC=AD. 所以S△ABF =■AB·BF. 所以■BF·AB=30. 所以BF=12 cm. 由勾股定理得AF=■=13 cm，所以AD=AF=13 cm. 所以BC=13 cm. 所以CF=BC-BF=1 cm. 由勾股定理得12+（5－x）2=x2，解得x=2.6，所以DE=2.6 cm.

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將未知的、陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)演繹、歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這就是轉(zhuǎn)化思想.

■ 如圖2，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20 cm，高AB為4 cm，BC是上底面的直徑，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程（精確到0.01 cm）.

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■ 螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個(gè)側(cè)面展開，可得到矩形ABCD，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面展開圖矩形對(duì)角線AC之長(zhǎng).

■ 將圓柱半個(gè)側(cè)面展開，如圖3，在Rt△ABC中，BC=底面圓周長(zhǎng)的一半=10 cm，所以AC=■=■=■≈10.77 cm. 所以最短路程約為10.77 cm.

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數(shù)形結(jié)合思想是把代數(shù)、幾何知識(shí)相互轉(zhuǎn)化，相互利用，即分析其代數(shù)定義，又揭示其幾何定義，使數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙和諧地結(jié)合在一起，并充分利用這種結(jié)合，尋求解題思路，使問(wèn)題得到解決的一種解題思想.

■?搖已知a，b，c，d均為正數(shù)，且a2＋b2=c2，a2=c■，求證：ab=cd.

■ 由條件可作出如圖4所示的直角邊的長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形，欲證ab=cd，顯然只需證d等于斜邊上的高即可.

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■ 由題意可得Rt△ABC，使∠ACB=90°，AC=b，BC=a，由a2+b2=c2知AB=c，作CD⊥AB于點(diǎn)D，因?yàn)镃D⊥AB，∠ACB=90°，所以∠ADC=∠ACB=90°. 又因?yàn)椤螧=∠B，所以△ACB∽△CDB. 所以■=■. 所以BC2=BD·AB，即BD·c=a2. 又因?yàn)閍2=c·■，所以BD=■. 所以CD2=BC2－BD2=a2－（a2－d2）=d2. 又CD>0， 所以CD=d. 因?yàn)镾■=■AB·CD=■AC·BC，所以cd=ab.

■ 已知a，b均為小于1的正數(shù)，求證：

■+■+■+■≥2■.

■ 本題可利用有關(guān)的幾何圖形及幾何知識(shí)來(lái)使其直觀化、明了化，體現(xiàn)以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合.

■ 如圖5，構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，E，G分別在BC，CD上，CE=a，CG=b，EF∥CD交AD于點(diǎn)F，GH∥BC交AB于點(diǎn)H，HG交FE于點(diǎn)M，則有BE=1-a，GD=1-b，MG=a，ME=b，AF=1-a，F(xiàn)M=1-b，AC=BD=■.

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（1）當(dāng)a，b都不等于■時(shí)，由勾股定理得AM=■=■，CM=■=■，BM=■=■，DM=■=■.

由三角形三邊關(guān)系得AM+CM>AC，BM+MD>BD，所以AM＋CM＋BM＋MD>AC＋BD=2■.

（2）當(dāng)a=b=■時(shí)，AM+CM+BM+MD=4×■=2■.

綜上可知，■+■+■+■≥2■.

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在△ACB中，若■AB=c，AC=b， BC=a，∠C=90°■，則■有a2＋b2=c2. 又因?yàn)椋╝＋b）2=a2＋b2＋2ab，所以（a＋b）2=c2＋2ab（※）. 若把a(bǔ)＋b，c，ab視為三個(gè)獨(dú)立的整體，則這三個(gè)量中，只要知道其中兩個(gè)量，就能求出第三個(gè)量，這就是整體思想的應(yīng)用.

將要解決的問(wèn)題作為一個(gè)整體，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作整體處理后，達(dá)到順利而又簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題的目的，這就是整體思想.

■ 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB的長(zhǎng)為c，c=10，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，且a+b+c=24，求△ABC的面積.

■ S■=■ab，若單獨(dú)求a，b，則要解一個(gè)二元二次方程組，但把a(bǔ)b視為一個(gè)整體，利用公式（※），則能巧妙地求出S△ABC .

■ 因?yàn)閍＋b＋c=24，c=10，所以a＋b=24－c=14.?搖所以（a＋b）2=196，a2＋b2＋2ab=196. 又因?yàn)閍2＋b2=c2=100，所以2ab=196－（a2＋b2）=96. 所以ab=48. 所以S△ABC=■ab=24.