三條線段之和最小值問題

近幾年，中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了求三條線段之和最小值的試題，題目多變，風格清新，但萬變不離其宗. 下面舉三例：

■ （2009福建彰州改編）如圖1，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q，R分別是OA，OB上的動點，求PQ＋PR＋RQ的最小值．

■ 點P是角內(nèi)部的一個定點，要在角的兩邊各確定一點使這三點連成的三角形周長最小，只需將這三邊的和轉(zhuǎn)化為以兩定點為端點的一條直線即可．

■ 分別作點P關(guān)于OB，OA的對稱點P■，P■，連結(jié)P■P■，根據(jù)軸對稱性易知OP■=OP■=OP=10，∠P■OP■=2∠AOB=90°，因而P■P■=10■，故PQ＋PR＋RQ的最小值為10■．

■ （2010福建寧德）如圖2，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連結(jié)EN，AM，CM.

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（1）求證：△AMB≌△ENB.

（2） ①當點M在何處時，AM＋CM的值最小？

②當點M在何處時，AM＋BM＋CM的值最小？說明理由.

（3）當AM＋BM＋CM的最小值為■+1時，求正方形的邊長.

■ 易證△AMB≌△ENB，以及△BMN為等邊三角形，所以AM＋BM＋CM就可以轉(zhuǎn)換成EN＋NM＋CM，而E，C兩點已定，則連結(jié)EC，利用兩點之間線段最短便可求解.

■ （1）因為△ABE是等邊三角形，所以BA=BE，∠ABE=60°. 因為∠MBN=60°，所以∠MBN－∠ABN=∠ABE－∠ABN，即∠MBA=∠NBE. 又因為MB=NB，所以△AMB≌△ENB（SAS）.

（2）①當點M落在BD的中點時，AM＋CM的值最小.

②如圖3，連結(jié)CE，當點M位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：連結(jié)MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，所以AM=EN. 因為∠MBN=60°，MB=NB，所以△BMN是等邊三角形. 所以BM=MN. 所以AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM. 根據(jù)“兩點之間線段最短”得，當EN＋MN＋CM=EC時最短，所以當點M位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長.

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（3）過點E作EF⊥BC交CB的延長線于點F，則∠EBF=90°－60°=30°. 設(shè)正方形的邊長為x，則BF=■x，EF=■. 在Rt△EFC中，因為EF2＋FC2=EC2，所以■2＋■x+x2=■+12，解得x1=■，x2=-■（舍去），所以正方形的邊長為■.

■ （2011四川南充）如圖4，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中點.

（1）求證：△MDC是等邊三角形.

（2）將△MDC繞點M旋轉(zhuǎn)，當MD（即MD′）與AB交于一點E，MC（即MC′）同時與AD交于一點F時，點E，F(xiàn)和點A構(gòu)成△AEF. 試探究△AEF的周長是否存在最小值. 如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值.

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■ （1）過點D作DP⊥BC于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q，得到CP=BQ=■AB，CP+BQ=AB=AD. 由矩形ADPQ，AD=PQ，推出BC=2AD. 由點M是BC的中點，推出BM=CM=AD=AB=CD，根據(jù)等邊三角形的判定即可得到答案.

（2）連結(jié)AM，由ABMD是菱形可得出△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，進而有∠BME=∠AMF. 證出△BME≌△AMF（ASA）后可得出BE=AF，ME=MF，從而△EMF是等邊三角形. 根據(jù)MF的最小值為點M到AD的距離■，即EF的最小值是■，即可求出△AEF的周長．

■ （1）過點D作DP⊥BC于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q，因為∠C=∠B=60°，所以CP=BQ=■AB，CP+BQ=AB=AD.?搖又因為ADPQ是矩形，AD=PQ，故BC=2AD. 由已知，點M是BC的中點，所以BM=CM=AD=AB=CD， 即在△MDC中，CM=CD， ∠C=60°，所以△MDC是等邊三角形.

（2）△AEF的周長存在最小值，理由如下：連結(jié)AM，由（1）易知平行四邊形ABMD是菱形，△MAB， △MAD和△MC′D′是等邊三角形，所以有∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°. 所以∠BME=∠AMF. 在△BME與△AMF中，BM=AM， ∠EBM=∠FAM=60°，∠BME=∠AMF，所以△BME≌△AMF（ASA）. 所以BE=AF， ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB. 因為∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等邊三角形，EF=MF. 因為MF的最小值為點M到AD的距離■，即EF的最小值是■，所以△AEF的周長=AE+AF+EF=AB+EF. 所以△AEF的周長的最小值為2+■.

此類題的最大特點是找“替身”以實現(xiàn)“等量轉(zhuǎn)化”，主要途徑是利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短來求解. 全等、等邊三角形的性質(zhì)等知識都是解決此類問題的得力助手.