以“三角板”為背景的中考試題

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■ （貴州遵義）把一塊直尺與一塊三角板如圖1放置，若∠1=45°，則∠2的度數(shù)為（ ）

A. 115° ?搖B. 120°

C. 145°?搖 D. 135°

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■ 由三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求得∠3的度數(shù)，又由∠4是∠3的鄰補(bǔ)角，可求得∠4的度數(shù)，最后由兩直線平行，同位角相等，即可求得∠2的度數(shù)，故選D.

■中考鏈接

1. （湖北恩施）將一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖2放置，如果∠α=43°，則∠β的度數(shù)是（ ）

A. 43° B. 47°

C. 30° D. 60°

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■ 此題實(shí)際上是例1中的圖形變式，類似例1的解法，即可得出答案為B.

2. （湖北黃石）將一個(gè)有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3 cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖3，則三角板的最大邊的長(zhǎng)為（ ）

A. 3 cm?搖 B. 6 cm

C. 3■cm?搖 D. 6■cm

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■ 由三角板的一邊與寬為3 cm的紙帶的一邊所在的直線成30°角可知45°角的三角板的直角邊為6 cm，則三角板最大邊的長(zhǎng)為6■ cm，故選D.

以上三道題的特點(diǎn)是以同學(xué)們使用的三角板、直尺為素材，把關(guān)于平行線、垂線、角度的計(jì)算巧妙融合，問(wèn)題設(shè)計(jì)回歸本源，操作性強(qiáng). 試題入口起點(diǎn)低，面向全體同學(xué)，考查了特殊三角形的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，以及從圖形中獲取信息的能力，符合同學(xué)們的生活常識(shí)和認(rèn)知基礎(chǔ)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)的基本理念.

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■ （山東棗莊）將一副三角板如圖4所示疊放在一起，若AB=14 cm，則陰影部分的面積是_______cm2.

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■ 由疊放圖易知，陰影部分是一個(gè)直角邊為7 cm的等腰直角三角形，故陰影部分的面積是24.5 cm2.

■中考鏈接

1. （山東東營(yíng)）一副三角板，如圖5所示疊放在一起，則圖5中∠α的度數(shù)是（ ）

A. 75° B. 60°

C. 65° D. 55°

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■ 由三角形內(nèi)角和定理可知∠α的度數(shù)是75°，故選A.

2. （山東威海）一副直角三角板如圖6放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，試求CD的長(zhǎng).

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■ 過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FC，垂足為點(diǎn)M，由已知和特殊三角形的性質(zhì)易得BC=10■，CM=15，MD=BM=5■，所以CD=CM－MD=15－5■.

3. （四川內(nèi)江）如圖7，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A，D重合，連結(jié)BE，EC. 試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想.

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■ BE=EC，BE⊥EC. 理由如下：因?yàn)锳C=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以AB=AD=CD. 因?yàn)椤螮AD=∠EDA=45°，所以∠EAB=EDC=135°. 因?yàn)镋A=ED，所以△EAB≌△EDC. 所以∠AEB=∠DEC，BE=EC. 所以∠BEC=AED=90°. 所以BE⊥EC.

此組試題將三角形的面積，直角三角形的內(nèi)角、邊，特殊角的三角函數(shù)值，以及全等三角形等知識(shí)，通過(guò)兩個(gè)三角板的位置疊放，構(gòu)造在了同學(xué)們熟悉的特殊圖形之中. 問(wèn)題情境公平，再現(xiàn)了同學(xué)們平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，增強(qiáng)了考試的實(shí)用性和有效性.

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■ （江蘇揚(yáng)州）如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n°后得到△EDC，此時(shí)點(diǎn)D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為（ ）

A. 30，2?搖 B. 60，2

C. 60，■?搖 D. 60，■

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■ 在Rt△ABC中，因?yàn)椤螦CB=90°，∠A=30°，CD=BC，所以∠CDB=∠B=90°－30°=60°. 所以n°=∠DCB=60°. 易得Rt△ABC∽R(shí)t△CDF，S■=■BC·AC=2■，由■=■=■可求得S■=■2·2■=■. 故選C.

■中考鏈接

1. （山東濱州）如圖9，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=4 cm，將△ABC繞頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△A′B′C的位置，且A，C，B′三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的最短路線的長(zhǎng)為（ ）

A. 4■cm?搖 ?搖 B. 8 cm

C. ■π cm?搖 D. ■π cm

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■ 解題時(shí)只要利用手中的三角板親自動(dòng)手操作就能搞清楚點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)C為圓心、CA長(zhǎng)為半徑的一段弧線，運(yùn)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算易求得點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的最短路線的長(zhǎng)為■π cm，故選D.

2. （山東聊城）將兩塊大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B′A′C′=30°）按圖10的方式放置，固定三角板A′B′C′，然后將三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°）至圖11所示的位置. AB與A′C交于點(diǎn)E，AC與A′B′交于點(diǎn)F，AB與A′B′交于點(diǎn)O.

（1）求證：△BCE≌△B′CF.

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于30°時(shí)，AB與A′B′垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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■ （1）如圖11，在△BCE和△B′CF中，由∠B=∠B′=60°，BC=B′C，∠BCE=90°－∠A′CA=∠B′CF，可得△BCE≌△B′CF.

（2）當(dāng)∠A′CA=30°時(shí)，AB⊥A′B′. 理由如下：因?yàn)椤螦′CA=30°，所以∠B′CF=90°－30°=60°. 易得∠B′FC=60°，∠AFO=∠B′FC=60°，所以∠AOF=90°. 所以AB⊥A′B′.

3. （內(nèi)蒙古包頭）在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠ABC=90°，一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)O處，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，圖12和圖13是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況.

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（1）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，△COF能否成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即給出△COF是等腰直角三角形時(shí)BF的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，線段OE和OF之間有什么數(shù)量關(guān)系？用圖12或圖13加以證明.

（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的點(diǎn)P處（如圖14），當(dāng)■=■時(shí)，PE和PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

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■ （1）△COF能成為等腰直角三角形. 包括：當(dāng)點(diǎn)F在BC中點(diǎn)時(shí)，CF=OF，BF=■；當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)F重合時(shí)，OF=OC，BF=0.

（2）如圖12，連結(jié)OB，則對(duì)于△OEB和△OFC，有OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°. 因?yàn)椤螮OB+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°，所以∠EOB=∠COF. 所以△OEB≌△OFC. 所以O(shè)E=OF. （圖13的證明方法與此類似）

（3）如圖14，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N. 因?yàn)椤螮PM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，所以∠EPM=∠FPN. 又因?yàn)椤螮MP=∠FNP=90°，所以△EPM∽△FPN. 所以■=■. 因?yàn)椤鰽MP和△PNC均為等腰直角三角形，所以Rt△PMA∽R(shí)t△PNC. 所以■=■. 又因?yàn)椤?■，所以■=■=■.

以上試題建立在三角板旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上，同學(xué)們?cè)诮忸}過(guò)程中通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、觀察、猜想、論證，可發(fā)現(xiàn)圖形（三角板）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中幾何基本元素之間的數(shù)量關(guān)系. 涉及的主要知識(shí)有三角形旋轉(zhuǎn)后構(gòu)造的重疊部分的面積、有關(guān)線段和角的數(shù)量關(guān)系（相等）或位置關(guān)系（垂直或平行）、三角形全等與相似的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和圓的有關(guān)內(nèi)容.

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以上試題，突出體現(xiàn)了以下特點(diǎn)：

第一，試題結(jié)合三角板的具體情境，考查了同學(xué)們對(duì)基本幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及變換的認(rèn)識(shí)，對(duì)重要幾何基本事實(shí)（核心概念）的理解和應(yīng)用.

第二，試題注重讓同學(xué)們?cè)趹?yīng)試過(guò)程中經(jīng)歷操作、觀察、推理、想象等探索過(guò)程，強(qiáng)調(diào)在圖形運(yùn)動(dòng)（重疊、旋轉(zhuǎn)、平移）變化過(guò)程中研究幾何圖形的基本要素及其關(guān)系的能力.

第三，試題更加突出“合情推理”與“演繹推理”相輔相成的關(guān)系，考查了同學(xué)們優(yōu)化解題途徑及方法的能力.