與四邊形有關(guān)的計(jì)算和證明

四邊形是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，涉及平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形幾個(gè)方面，是歷年各地中考的必考內(nèi)容，試題既有選擇題、填空題，又有解答題，在中考中分值占6%~20%.

■平行四邊形

與平行四邊形有關(guān)的考題重點(diǎn)涉及平行四邊形的性質(zhì)及判定方法，解決有關(guān)問題需要熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定方法.

■ （2011四川涼山）如圖1，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的點(diǎn)，CE=AF，請(qǐng)你猜想：線段BE與線段DF有怎樣的關(guān)系，并對(duì)你的猜想加以證明.

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■?搖猜想：BE∥DF，且BE=DF. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以CB=AD，CB∥AD. 所以∠BCE=∠DAF. 在△BCE和△DAF中，CB=AD，∠BCE=∠DAF，CE=AF，所以△BCE≌△DAF. 所以BE=DF，∠BEC=∠DFA. 所以BE∥DF. 所以BE∥DF，且BE=DF.

■矩形

與矩形有關(guān)的考題通常為矩形折疊問題和矩形的判定，解決折疊問題，需要把折疊的特征、勾股定理及平行線的相關(guān)知識(shí)綜合應(yīng)用；解決矩形的判定問題應(yīng)熟練掌握矩形的判定方法，并能根據(jù)所給的條件靈活選用.

■ （2011黑龍江大慶）如圖2，ABCD是一張邊AB長為2、邊AD長為1的矩形紙片，沿過點(diǎn)B的折痕將∠A翻折，使得點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)A1處，折痕交邊AD于點(diǎn)E．

（1）求∠DA1E的大小.

（2）求△A1BE的面積．

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■?搖（1）由Rt△ABE≌Rt△A1BE知A1B=AB=2，又BC=1，所以∠BA■C=30°. 因?yàn)椤螧A1E=∠BAE=90°，所以∠DA1E=60°.

（2）在Rt△A1BC中，A1B=2，BC=1，所以A1C=■. 所以A1D=2-■. 設(shè)AE=x（x>0），則ED=1-x，A1E=x.?搖 在Rt△A1DE中，A1D2+DE2=A1E2，即（2-■）2+（1-x）2=x2，解得x=4-2■. 在Rt△A1BE中，A1E=4-2■，A1B=AB=2，所以S△A1BE=■×2×（4-2■）=4-2■.

■菱形

與菱形有關(guān)的考題重點(diǎn)考查菱形的判定，常以解答題或探索題的形式出現(xiàn)，解決有關(guān)的計(jì)算題需要將菱形與勾股定理相結(jié)合；解決有關(guān)的判定題，需從邊、對(duì)角線兩個(gè)方面進(jìn)行判定.

■ （2011福建福州）已知，在矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，垂足為O. 如圖3，連結(jié)AF，CE，求證四邊形AFCE為菱形.

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■?搖因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AD∥BC. 所以∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE. 因?yàn)镋F垂直平分AC，垂足為O，所以O(shè)A=OC. 所以△AOE≌△COF. 所以O(shè)E=OF. 所以四邊形AFCE為平行四邊形. 又因?yàn)镋F⊥AC，所以四邊形AFCE為菱形.