在記錄中敞亮數(shù)學(xué)思維

一、現(xiàn)象掃描

如今的課堂，教師的教學(xué)理念有了很大轉(zhuǎn)變，很多教師都能給予學(xué)生平等的交流機會。課堂上常?？吹竭@樣熱鬧的交流情境：“老師，我是這樣想的……”“我還有不同的方法……”“老師，我還有補充……”你說我說他說，真是不亦樂乎。然而當(dāng)教師提出：“他們主要講了哪些方法？”“你認(rèn)為他們講得怎么樣？”“這些方法中你最喜歡哪一種？為什么？”這一類問題，讓學(xué)生梳理前面學(xué)生的不同表達(dá)內(nèi)容，或者進(jìn)行一定的比較與評價時，很多學(xué)生會茫然不知所措。究其原因，首先是短時記憶能力存在差異。在聽完那么多學(xué)生回答后能立刻記住所有情況是不容易的。其次單憑聽覺感知印象不深。小學(xué)生學(xué)習(xí)需要多種感官參與，僅是聽一聽，沒有視覺等綜合作用，學(xué)生的感知是模糊的。再次理解內(nèi)化需要過程。學(xué)生的不同思路有深有淺，需要消化吸收過程，然而在小學(xué)階段，很多教師往往一味地依賴學(xué)生的口頭表達(dá)，沒有數(shù)學(xué)記錄的要求，也沒有充分利用投影儀等媒體展示的優(yōu)勢，使交流的內(nèi)容如浮光掠影一閃即逝，削弱了課堂學(xué)習(xí)的效果。

二、問題反思

通過日常觀察我們發(fā)現(xiàn)小學(xué)階段過分注重口頭表達(dá)，缺乏做常規(guī)的數(shù)學(xué)記錄的習(xí)慣，確實出現(xiàn)了一系列的弊端，主要呈現(xiàn)如下：

1.影響數(shù)學(xué)思考的深入

手口不一能說不能寫。有些教師時常感慨“這個學(xué)生上課時講得蠻好的，怎么寫到本子上就亂七八糟、一片混亂呢？”“那孩子上課時是個優(yōu)等生，一到卷面就大相徑庭啦”等等。其實教師所說的現(xiàn)象確實屢見不怪。深入思考，不難發(fā)現(xiàn)一方面與小學(xué)生好動難靜樂表現(xiàn)的習(xí)慣有關(guān)，另一方面也可反映出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要多種感官參與活動。口頭表達(dá)雖然當(dāng)時錚錚作響，可過后往往如浮光掠影，難以在大腦留下深刻印象。

思維混亂缺乏條理。課堂上數(shù)學(xué)問題提出之后，常有一部分學(xué)生立刻舉手發(fā)言，他們的表達(dá)斷斷續(xù)續(xù)、顛三倒四，甚至言不達(dá)意、不能切中要害。教師看在他積極主動舉手的分上給了發(fā)言機會，但在傾聽之下又很后悔，覺得浪費了大家的時間，打斷吧又怕傷了學(xué)生自尊，左右為難。其實短時直覺反應(yīng)，往往止于表面，不夠細(xì)致深入。除了智力超群的學(xué)生，大多數(shù)學(xué)生還未能靜心思考形成有依據(jù)的表達(dá)內(nèi)容，怎么能指望清楚有條理的過程展示？

思考膚淺不夠嚴(yán)謹(jǐn)。還有很多學(xué)生不落下任何一個自我表現(xiàn)的機會，然而，我們發(fā)現(xiàn)他們的思考往往會有漏洞，或只見個別未見整體、或止于形式未見本質(zhì)、或唯我獨尊不善評鑒，等等?？梢娙狈?yán)謹(jǐn)踏實的探究習(xí)慣、缺乏筆頭記錄的靜心反思，思維又如何走向深入？

2.降低課堂交流的實效

參與面窄難以面向全體。課堂有額定的教學(xué)任務(wù)和嚴(yán)格的時間限制，口頭表達(dá)顯然有很強的局限性，所以課堂往往只是部分學(xué)生的表演舞臺，長此以往不僅違背面向全體的課程理念，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)語言的發(fā)展。

資源缺失難以深入交流。課堂上學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算等活動，會產(chǎn)生很多思維火花，但讓這些豐富的思想以口頭形式呈現(xiàn)，一方面受交流時間的限制不夠全面，另一方面也受短時記憶能力限制，很難進(jìn)行不同層次的資源比較，更難創(chuàng)設(shè)教學(xué)契機或引發(fā)認(rèn)知沖突推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程。

三、策略探討

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。……學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程。”能否將經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動的過程，用書面或口頭等形式比較準(zhǔn)確地表達(dá)并進(jìn)行交流，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要?；谛W(xué)階段過于強調(diào)口頭表達(dá)問題的反思，筆者就著重書面表達(dá)之記錄策略的研究，從以下幾方面闡述一些體會。

1.起點階段，嘗試記錄基本思考過程

小學(xué)低年級，由于書寫等表達(dá)能力的欠缺，記錄的要求也要遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，循序漸進(jìn)。為給予學(xué)生表達(dá)的平臺，除了一開始有條理的口頭表達(dá)要求外，我們還可以嘗試引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)符號、圖形、列式等不同方式記錄自己基本的思路，亮出自己獨特的思考過程與思維方式。

如學(xué)完蘇教版二年級上冊乘法（一）后出現(xiàn)了乘加（減）教學(xué)內(nèi)容（第11頁），教師放手讓學(xué)生自主探究不同計算方法并作適當(dāng)記錄。經(jīng)過一番思考記錄與交流思辨，我們會發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思路精彩紛呈，有正向列式：4＋4＋4＋2、3×4＋2，也有逆向列式： 4×4－2；甚至還有以5或3的乘法口訣列式：5×2＋4、3×5－1、4×3＋2（4個3加2）、5×3-1（5個3減1）。真是創(chuàng)意迭出，不由讓人刮目相看。試想如果僅僅只是口頭匯報，一方面不利于資源的收集比較，另一方面也很難做到教師期待的手口相諧。所謂千里之行始于足下，千層之臺起于累土。有了前面的積淀，后續(xù)學(xué)習(xí)必會逐漸進(jìn)步，而學(xué)習(xí)資源的創(chuàng)設(shè)與個性思維的碰撞自是鮮活靈動、火花頻現(xiàn)。

2.過渡階段，嘗試記錄簡單推理過程

小學(xué)中年級，學(xué)生依賴形象思維的同時抽象思維也有了一定的發(fā)展。教學(xué)中不僅可以要求像小學(xué)低年段一般用數(shù)學(xué)符號、圖形、文字等不同方法記錄思考過程，同時還可以結(jié)合一些規(guī)律的研究，進(jìn)行簡單推理過程的記錄，讓學(xué)生初步感悟思維的嚴(yán)謹(jǐn)縝密。

例如在“乘法結(jié)合律”的教學(xué)中，讓學(xué)生猜測可能存在的規(guī)律之后，舉例說明時以有序的書寫格式外化自己的內(nèi)部語言，從而進(jìn)行推理論證。在學(xué)生由口算得出四組等式后，適時設(shè)置啟發(fā)性問題：根據(jù)這四個等式我們就發(fā)現(xiàn)了這樣的規(guī)律，這到底是巧合還是有規(guī)律呢？能再舉一些例子來證明我們所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？當(dāng)學(xué)生直接口述出一個簡單實例時，教師馬上引導(dǎo)學(xué)生以規(guī)范的形式加以表達(dá)（如下圖）。

最后小結(jié)：你們能否也像教師這樣舉一個例子甚至更多的例子來說明這個規(guī)律是不是成立呢？同時還能再找出一個反例來說明規(guī)律不成立嗎？很快學(xué)生就能從模仿到內(nèi)化，并進(jìn)行有序規(guī)范的數(shù)學(xué)證明活動了。如果能有計劃、有目的地滲透，不僅促進(jìn)了小學(xué)中年級后續(xù)幾個運算律探究方法的遷移，也促進(jìn)了小學(xué)高年級如分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)等規(guī)律探究方法的類比拓展。

3.發(fā)展階段，嘗試記錄復(fù)習(xí)整理框架

隨著年級的升高，學(xué)生抽象理性思維逐步占主導(dǎo)地位，在前面記錄能力獲得同步發(fā)展的基礎(chǔ)上，可以要求學(xué)生自主整理知識體系，選擇合適且美觀的記錄方法。即在某單元內(nèi)容或某領(lǐng)域相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容告一段落后，讓學(xué)生自主嘗試進(jìn)行知識序列化整體性的小結(jié)。

如學(xué)習(xí)了《比例》這個單元后，有學(xué)生選用表格整理了正反比例的關(guān)系。清晰美觀的表格顯示了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過程，也對學(xué)生的知識架構(gòu)起了很好的提升作用。

又如四年級學(xué)生在進(jìn)行角的分類整理時，綜合運用了表格、圖形、文字、流程圖等策略（如下圖）。不同風(fēng)格的整理方式，既利于學(xué)生表達(dá)知識內(nèi)涵外延間的關(guān)系，也利于個群智慧的分享，發(fā)展了學(xué)生思維的批判性與獨創(chuàng)性等品質(zhì)。

數(shù)學(xué)教育的核心問題是數(shù)學(xué)思維，問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)思維因問題而展開。然而數(shù)學(xué)問題有淺有深，有些淺顯直白的問題只需剎那間的反應(yīng)，主要依托口頭表達(dá)；也有很多富有內(nèi)涵的問題需要深入的理性思考，往往需要借助書面表達(dá)記錄關(guān)鍵思維的過程。數(shù)學(xué)思維的過程似乎是無形而飄渺的，如何化無形為有形，讓數(shù)學(xué)思維過程敞亮起來，讓鮮活的生成性資源為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，值得我們教師進(jìn)一步深入研究。

（責(zé)編 金 鈴）