專業(yè).專家.專題.專門

近年來，我聽了不少關(guān)于“用字母表示數(shù)”的公開課、觀摩課以及教研課（包括網(wǎng)上教研），發(fā)現(xiàn)有些教師對“用字母表示數(shù)”意義與理解水平的把握有較大的偏差和缺失。為了改變現(xiàn)狀，我自2006年下半年以來，對“用字母表示數(shù)”意義與理解水平進行“以專業(yè)的視角作剖析，用專家的觀點細解讀，依專題的研討來實踐，按專門的理論鑒效果”的具體解讀和實踐，收到了較好的效果。

一、以專業(yè)的視角作剖析，偏差較大

無論在校際教研課，還是去參加?。ㄊ校┮约叭珖壍挠^摩課，我們不難發(fā)現(xiàn)，所有“用字母表示數(shù)”的課的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)大同小異，唯有對意義與理解水平的把握偏差較大。請看以下兩個案例。

案例（一）：意義引入時有畫蛇添足、舍近求遠之勢頭

其一，上課伊始，教師隨即拋出了以下習(xí)題。

第一幅圖的字母表示_____________。

第二幅圖的字母表示_____________。

第三幅圖的字母表示_____________。

其二，很多教師在課的最后引入一首熟悉的兒歌，出示“數(shù)青蛙”：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……大多數(shù)學(xué)生對第一句沒有異議，對第二句有的說是“2ɑ只眼睛”，有的說是“ɑ2條腿”……

點評：對其一，我認為，課堂教學(xué)由熱烈的討論轉(zhuǎn)變?yōu)榧ち业臓幷?，可以說是眾說紛紜，時間花去了近10分鐘，表面上熱熱鬧鬧好像與生活接軌，實際上與“用字母表示數(shù)”全然無關(guān)。大家都知道，CCTV是中國中央電視臺的英文縮寫，車牌“浙A”表示浙江杭州地區(qū)，只有撲克牌中的J可以表示自然數(shù)中的11（勉強可以，撲克牌J其實也是英文JACK的縮寫），案例中教師真可謂在教材的處理上有畫蛇添足之勢頭。對其二，我認為多數(shù)教師為了追求時尚和新意，丟開了數(shù)學(xué)課本本質(zhì)的東西，在長方形和正方形周長公式中不就有2ɑ+2b與4ɑ這樣的教學(xué)內(nèi)容嗎？但教師總不愿意采用，寧可舍近求遠，效果卻適得其反。

案例（二）：理解層次有要求整齊劃一、生搬硬套之感覺

在理解應(yīng)用時，教師安排了“猜老師和同學(xué)的年齡”這個環(huán)節(jié)。

師（板書“ɑ”）：猜一猜，ɑ是老師的年齡，還是同學(xué)的年齡？（全班學(xué)生鴉雀無聲）

師（板書“ɑ+20”）：請同學(xué)們猜猜ɑ表示什么？ɑ+20表示什么？

生1：ɑ表示我們的年齡，ɑ+20表示老師的年齡。

生2：ɑ也可以表示老師的年齡，那么我們的年齡是ɑ-20。

點評：教師全然不顧這部分“另有想法”的學(xué)生和不同理解水平的學(xué)生，對學(xué)生只作整齊劃一的講解，使部分學(xué)生特不服氣。因此，這個環(huán)節(jié)給我一種要求整齊劃一、生搬硬套的感覺。

二、 用專家的觀點細解讀，內(nèi)涵豐富

1.用“用字母表示數(shù)”的意義解讀。

“用字母表示數(shù)”屬于概念性知識，從數(shù)學(xué)發(fā)展史的視角來看，它的教學(xué)無疑要關(guān)注以下三點：一是要尋找承載“用字母表示數(shù)”的本質(zhì)意義并使意義有直觀認識的教學(xué)模型；二是引發(fā)學(xué)生對數(shù)量間的關(guān)系進行抽象概括的情感需求；三是應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生的認識規(guī)律，即抽象認識源于直觀模型的心理程序。結(jié)合我的教學(xué)經(jīng)驗，在教學(xué)實踐中，我對“用字母表示數(shù)”的意義歸納為以下四點：其一，把字母當作一個特定且未知的數(shù)；其二，字母可以代表幾個數(shù)或一批數(shù)；其三，可以把字母當作變量；其四，還可以用字母表示數(shù)量關(guān)系。

2.對“用字母表示數(shù)”的理解水平的解讀。

長期的教學(xué)實踐和經(jīng)驗告訴我們，學(xué)生的理解水平不是由教師的教學(xué)期望所決定，而是由學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實、認知能力和數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)所決定的。我認為根據(jù)學(xué)生對字母表示數(shù)意義的理解程度，可把理解水平劃分為四級：第一級水平——了解，對字母表示數(shù)的意義達到感性的、初步的認識；第二級水平——理解，對字母表示數(shù)的意義達到理性的、能比較差異的層次；第三級水平——掌握，對字母表示數(shù)的意義在理解的基礎(chǔ)上達到能舉例、能解決一般問題的技能；第四級水平——靈活運用，對字母表示數(shù)的意義能綜合其他知識靈活運用，且形成能力。

三、 依專題的研討來實踐，“研”有方向

數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗告訴我們，概念教學(xué)要堅持三性：一是數(shù)學(xué)性；二是自然性；三是知識形成方法的可重復(fù)性。遵照以上三性，遵循學(xué)生的心理認知發(fā)展規(guī)律，我在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)設(shè)計中，把教學(xué)內(nèi)容與課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)相匹配，以經(jīng)典的事例改編教材的主要內(nèi)容。在設(shè)計教案時，我既利用人教版教材中的特點，也吸取北師大等版本教材中的優(yōu)點，收到了較好的效果。

板塊（一）：實例導(dǎo)入——探究規(guī)律，初步體驗意義

1.想象用小棒擺正三角形，尋找三角形個數(shù)與小棒根數(shù)之間的聯(lián)系。

（1） 出示一根小棒，想象用同樣的小棒如何擺一個三角形。

（2） 依次回答擺1個、2個、3個、4個、5個三角形需要小棒的數(shù)量。

（3） 尋找三角形個數(shù)與小棒根數(shù)之間的規(guī)律。

2.嘗試用簡明、概括的方法在一個括號里分別表示所有的三角形個數(shù)與小棒根數(shù)，通過信息反饋，得出用字母表示是一種相對簡明、概括的方法。

（1） 教師給學(xué)生每人發(fā)一張如下的小紙條。

師：嘗試用一種既相對簡明又非常概括的方法把所有三角形的個數(shù)都寫出來，同樣用這種方法把相應(yīng)的所有小棒根數(shù)也表示出來，而且還讓人知道它們之間的關(guān)系（3倍）。拿出一張小紙條，怎么想就怎么寫。（學(xué)生信息反饋環(huán)節(jié)略）

（2） 引出課題，體驗用字母表示數(shù)的優(yōu)點。

師：通過簡短的分析，我們找到了一種新的方法，是什么？（用字母表示數(shù)）其實，這就是今天這節(jié)課我們重點來研究的內(nèi)容。（板書課題：用字母表示數(shù)）

師：再回頭看這種方法，一旦我們知道了三角形的個數(shù)，根據(jù)這種表達方式，我們能不能很快確定小棒的根數(shù)？22個、1000個三角形呢？

師：你覺得你們找到的這種方法好不好，好在哪里？

設(shè)計意圖：課堂導(dǎo)入通過找數(shù)的規(guī)律，讓學(xué)生嘗試簡明、概括地表示數(shù)，并對思路進行分析，使學(xué)生在不知不覺中自覺地用字母來表示數(shù)，初步體驗用字母表示數(shù)的意義與作用。

板塊（二）：本質(zhì)學(xué)習(xí)——應(yīng)用范例，理解實際意義

1．猜猜年齡。

（1）猜父女年齡。

（2）出示下面兩個式子猜師生年齡：ɑ+20，ɑ-20。（學(xué)生分小組討論）

2．猜正方形的周長公式。

師（貼一個正方形，板書“C=ɑ×4”）：猜一猜，這個式子里的字母分別表示正方形的什么？

師：憑你的經(jīng)驗，ɑ在這表示任意一個正方形的邊長時可以是哪些數(shù)？（任何數(shù)）

師：你看，同樣一個ɑ在表示年齡的時候與表示正方形邊長的時候，表示數(shù)的范圍一樣嗎？

設(shè)計意圖：這個環(huán)節(jié)我們安排了兩個猜測，一是猜年齡，讓學(xué)生明白字母在不同的情境下，表示數(shù)的范圍是不一樣的。另一個猜測是與導(dǎo)入互為辯證的過程，導(dǎo)入是從數(shù)到字母，這里是先有字母式子，反過來讓學(xué)生用具體的數(shù)來解釋字母式子表示的意義。我們想通過這種方式去不斷詮釋“用字母表示數(shù)”這個概念的內(nèi)涵。

板塊（三）：反饋訓(xùn)練——開放練習(xí)，詮釋概念內(nèi)涵

1．開放性練習(xí)，根據(jù)ɑ×4與書本圖片說明ɑ×4表示的意義。

（出示ɑ×4，再出示4本書的圖片，如下圖）

師：ɑ×4只能表示正方形的周長嗎？誰能說清楚這里的ɑ表示什么？ɑ×4又表示什么？

2.兒歌。

（1）出示（數(shù)青蛙）：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……

（2）學(xué)生一邊拍手，一邊唱。

（3）理清青蛙的眼睛與只數(shù)、腿與只數(shù)的關(guān)系。

（4）照這樣唱，唱得完嗎？學(xué)習(xí)這一課后，你能用簡明、概括的方法，用一句話把它唱完嗎？

出示：（ ）只青蛙（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

（5）學(xué)生信息反饋。（略）

設(shè)計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，我安排了三個練習(xí)。首先讓學(xué)生開放性地說一說ɑ×4的意義，突出字母作為一種符號的意義，它不代表一種具體的數(shù)量。然后再從這里引出“用字母表示數(shù)”的歷史，把數(shù)學(xué)史的介紹安排在具體的情景中，讓學(xué)生再次體會用字母表示數(shù)的發(fā)展史。最后，兒歌的規(guī)律用字母表示是有一定難度的，但是從學(xué)生的反饋來看，大部分學(xué)生已經(jīng)能用正確的方法來表示。

板塊（四）：互動總結(jié)——自我反思，提升理解水平

1.組織學(xué)生學(xué)習(xí)以下改編后的兒歌。

1張課桌1個面，2人可坐有4條腿；2張課桌2個面，4人可坐有8條腿；3張課桌3個面，6人可坐有12條腿……

2．教師提問。

（1）我們?nèi)嘤?2個學(xué)生，你能立即算出有幾張課桌、幾個桌面和幾條桌腿嗎？

生：有21張課桌21個面，42人可坐有84條腿。

（2）全校有ɑ個同學(xué)，要多少張課桌，有幾條腿？

生：ɑ÷2。

……

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生親歷事例，感悟意義，提升理解層次。本教案的設(shè)計和實施依據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，對“用字母表示數(shù)”意義與理解水平已有一種潛在的直觀認識和理解。因此，在課的最后把教室的桌、人等作為終極目標，從實際生活場景中提煉出數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生的學(xué)習(xí)進入一目了然的自然狀態(tài)，感悟到實在的意義。

以上教案和實施的全過程可以概括為兩條線：一是明線，具體問題→數(shù)學(xué)概念→強化應(yīng)用→小結(jié)反思；二是暗線，自我領(lǐng)悟→抽象領(lǐng)會→抽象領(lǐng)悟→形成概念。

四、按專門的理論鑒效果，收獲豐厚

1．理論依據(jù)。

對于這個問題，英國CSMS研究小組進行了卓有成效的研究，他們撰寫的《孩子們的數(shù)學(xué)理解（11—16歲）》一書中的第八章就“用字母表示數(shù)”的理解水平的研究成果進行了闡述。他們主要選取了兩個標準作為測驗孩子理解水平的內(nèi)容，這兩個標準是字母賦予的意義與題目結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，并根據(jù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和量的性質(zhì)把題目劃分為四種理解水平，同時得到了印證。

2．實踐意義。

“用字母表示數(shù)”是小學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)代數(shù)知識的第一課，且是代數(shù)知識中最基礎(chǔ)、最重要的概念之一。我們知道，代數(shù)中的字母可以賦予許多不同的意義，因此，學(xué)生對“用字母表示數(shù)”意義的理解就有不同的層次和水平。這種層次和水平的高低對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與進一步發(fā)展創(chuàng)造具有不可低估的作用。

3．具體效果。

經(jīng)過對重組后的教材進行試教（最后一次試教的課堂實錄），學(xué)生在以下方面有了提高。

（1）充分地體驗“用字母表示數(shù)”的優(yōu)點。

先前教學(xué)中，按照人教版教材的編排，以教學(xué)用字母表示特定的數(shù)、定律、公式為主要內(nèi)容，內(nèi)容簡單、枯燥，學(xué)生學(xué)習(xí)沒有激情。這次教學(xué)從用字母表示數(shù)量關(guān)系入手，讓學(xué)生自主探究，主動用字母表示數(shù)量關(guān)系中的變量，體會字母表示數(shù)的抽象性、概括性，并回顧用字母表示定律、公式的過程，體驗字母表示數(shù)的簡明性、易記性。在最后環(huán)節(jié)，大部分學(xué)生都能用字母正確地表示出青蛙只數(shù)與嘴、眼睛、腿之間的關(guān)系，說明學(xué)生已經(jīng)比較好地掌握了用字母表示數(shù)量關(guān)系的知識。

（2）有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

先前教學(xué)中，我通過乘法交換律引出字母與字母之間的乘號可以省略，再通過正方形的周長和面積公式引出字母與數(shù)字相乘時的書寫規(guī)則和平方數(shù)的意義、讀寫法，按部就班，一環(huán)接一環(huán)，整整花了半節(jié)課的時間講清其中的要點。這一次，從找小棒與三角形之間的規(guī)律入手，嘗試用不同方法表示它們的關(guān)系，讓學(xué)生在不自覺中運用字母來表示數(shù)。接著通過兩個猜謎的游戲來詮釋字母表示數(shù)的內(nèi)涵，開放性地解釋ɑ×4表示的意義，自然地進行用字母表示數(shù)的歷史意義的滲透，最后通過一首兒歌來加以提升。這些環(huán)節(jié)層層銜接，生動有趣，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（3）成功地培養(yǎng)了學(xué)生良好的學(xué)習(xí)行為和習(xí)慣。

課堂教學(xué)研究了學(xué)情，分析和掌握了學(xué)情，不僅使學(xué)生學(xué)會了知識基礎(chǔ)，而且使學(xué)生的態(tài)度、習(xí)慣和能力得到了提升。其實，這在平時作業(yè)、學(xué)生訪談、課前測試、調(diào)查等都能適時應(yīng)用。如圖形知識中要了解學(xué)生的動手能力，概念性知識要知道學(xué)生的生活經(jīng)驗，簡便計算中要了解學(xué)生對數(shù)的感覺情況等等。

總之，多年的實踐使我感悟到，只有認真研讀教材，挖掘教材的深層價值，才能創(chuàng)造性地使用教材；只有做到對學(xué)生的認知水平心中有數(shù)，才能提高教學(xué)效率。

（責(zé)編 杜 華）