函數(shù)圖像對(duì)稱性綜述

齊坤

【摘要】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).函數(shù)的性質(zhì)是競(jìng)賽和高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡(jiǎn)捷地使問(wèn)題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);對(duì)稱性;推論

本文擬通過(guò)函數(shù)自身的對(duì)稱性、相關(guān)函數(shù)圖像的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這三個(gè)方面來(lái)探討函數(shù)與對(duì)稱有關(guān)的性質(zhì).

一、函數(shù)y=f(x)圖像自身的對(duì)稱性

定理Ⅰ

1.函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)諍數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a+b[]2對(duì)稱.

推論 函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(-x)諍數(shù)圖像y=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱.

2.函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=2c諍數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)a+b[]2,c對(duì)稱.

推論 函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+f(-x)=0諍數(shù)y=ゝ(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

定理Ⅱ

1.若函數(shù)y=f(x)圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a,c)和點(diǎn)B(b，c)成中心對(duì)稱（a≠b）,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期.

2.若函數(shù)y=f(x)圖像同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對(duì)稱（a≠b）,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期.

3.若函數(shù)y=f(x)圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a,c)成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x=b成軸對(duì)稱（a≠b）,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期.

二、相關(guān)函數(shù)圖像的對(duì)稱性

定理Ⅲ

1.函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)諍數(shù)y=f(ax+b)圖像關(guān)于直線x=-b[]a對(duì)稱.

2.函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)趛=f(ax+b)圖像關(guān)于點(diǎn)-b[]a，0對(duì)稱.

定理Ⅳ

1.函數(shù)y=f(ax+b)為偶函數(shù)諍數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于直線x=b對(duì)稱.

2.函數(shù)y=f(ax+b)為奇函數(shù)諍數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)（b，0）對(duì)稱.

三、不同函數(shù)圖像之間的對(duì)稱性

定理Ⅴ

1.函數(shù)y=f(x+a)與y=f(-x+b)圖像關(guān)于x=b-a[]2對(duì)稱.

推論1 函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

推論2 函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)圖像關(guān)于直線﹛=猘成軸對(duì)稱

（記憶方法：由x+a=-x+b解得）

2.函數(shù)y=f(x+a)與y=2c-f(-x+b)圖像關(guān)于點(diǎn)b-a[]2，c對(duì)稱.

推論1 函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

推論2 函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,b)成中心對(duì)稱.

（記憶方法：對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)由x+m=-x+n解得）

定理Ⅵ

1.函數(shù)y=f(x)與a-x=f(a-y)圖像關(guān)于直線x+﹜=猘成軸對(duì)稱.

2.函數(shù)y=f(x)與x-a=f(y+a)圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對(duì)稱.

推論 函數(shù)y=f(x)圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線﹜=獂成軸對(duì)稱.

限于篇幅以上定理的證明這里不再贅述.