幾種函數(shù)類對(duì)復(fù)合運(yùn)算的封閉性

孫樹東

【摘要】在討論黎曼可積函數(shù)類、勒貝格可測(cè)函數(shù)類、勒貝格可積函數(shù)類的封閉性時(shí)，只討論到四則運(yùn)算，至多討論到極限運(yùn)算，而對(duì)復(fù)合運(yùn)算一般不作詳細(xì)討論，這無疑是個(gè)缺憾，文章就這些重要函數(shù)類對(duì)復(fù)合運(yùn)算的封閉性作一些討論.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)類；復(fù)合；封閉オ

一、黎曼可積函數(shù)類

設(shè)f與g都是區(qū)間上的函數(shù)且內(nèi)層的值域不越出外層的定義域，在f與g可積或連續(xù)的條件下討論f［g］的可積性.

1.若f與g都可積,則f［g］未必可積.

事實(shí)上,取g(x)=R(x)，x∈［0,1］,f(x)=玸gn玿，x∈［0,1］，則f與g都可積，而f［g(x)］=D(x)，x∈［0,1］卻不可積.

2.若f與g都連續(xù),則f［g］連續(xù)，當(dāng)然可積.

3.若f連續(xù)，g可積，則f［g］可積

這個(gè)結(jié)論的證明在教科書中可以找到，不贅述.

4.若f可積，g連續(xù)，則f［g］未必可積.

事實(shí)上，取f(x)=0，x黀，お1，x∈P，獂∈［0,1］，其中P是［0,1］上的康托三分集，g(x)=θ-1(x)，其中θ（x)為康托函數(shù)，

則g(x)在［0,2］上連續(xù)，f(x)在［0,1］上可積，但ゝ［g(x)］=0，x黀，お1，x∈P在［0,2］上卻不可積.原因是f［g(x)］的不連續(xù)點(diǎn)集θ(P)的測(cè)度為1.

二、勒貝格可測(cè)函數(shù)類

設(shè)f與g都是可測(cè)函數(shù)且內(nèi)層的值域不越出外層的定義域，在f與g可測(cè)或連續(xù)的條件下討論f［g］的可測(cè)性.

1.當(dāng)外層函數(shù)f與內(nèi)層函數(shù)g都連續(xù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)ゝ［g］連續(xù)，當(dāng)然可測(cè).

2.當(dāng)外層函數(shù)f連續(xù)，內(nèi)層函數(shù)g可測(cè)時(shí)，復(fù)合函數(shù)ゝ［g］必可測(cè).

3.當(dāng)外層函數(shù)f可測(cè)，內(nèi)層函數(shù)g連續(xù)時(shí)，復(fù)合復(fù)數(shù)ゝ［g］未必可測(cè).

現(xiàn)舉例如下：令g(x)=θ-1(x)，其中θ(x)為康托函數(shù).則g(x)在［0,2］上連續(xù)，在θ(P)中取不可測(cè)集E，令f(x)=0，xθ-1(E)，お1，x∈θ-1(E)，則f(x)的不連續(xù)點(diǎn)集為康托三分集P的子集，所以測(cè)度為0，因而f(x)可測(cè).而f［g(x)］=0，x麰，お1，x∈E，顯然為不可測(cè)函數(shù).

由于連續(xù)函數(shù)都可測(cè)，所以可得.

4.當(dāng)外層函數(shù)f與內(nèi)層函數(shù)g都可測(cè)時(shí)，復(fù)合函數(shù)ゝ［g］未必可測(cè).

三、勒貝格可積函數(shù)類

設(shè)f與g都是有界可測(cè)函數(shù)且內(nèi)層的值域不越出外層的定義域，在f與g勒貝格可積或連續(xù)的條件下討論f［g］的勒貝格可積性.

1.當(dāng)外層函數(shù)f與內(nèi)層函數(shù)g都連續(xù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)ゝ［g］連續(xù)，當(dāng)然勒貝格可積.

2.當(dāng)外層函數(shù)f連續(xù)，內(nèi)層函數(shù)g勒貝格可積，則復(fù)合函數(shù)f［g］勒貝格可測(cè)，因而可積.

3.當(dāng)外層函數(shù)f勒貝格可積（即可測(cè)），內(nèi)層函數(shù)g連續(xù)，復(fù)合函數(shù)f［g］未必勒貝格可測(cè)，因而未必可積，進(jìn)而可得.

4.若f與g都可積，則f［g］未必可積.

注釋 康托函數(shù)θ(x)的構(gòu)造：

設(shè)P是［0,1］上的康托三分集，將它的余區(qū)間作如下分類：第一類是區(qū)間長(zhǎng)為1[]31的20個(gè)區(qū)間1[]3,2[]3；第二類區(qū)間長(zhǎng)分別為1[]32的21個(gè)區(qū)間1[]9,2[]9，7[]9,8[]9；第三類是區(qū)間長(zhǎng)分別為1[]33的22個(gè)區(qū)間1[]27,2[]27，7[]27,8[]27,19[]27,20[]27，25[]27,26[]27；依此類推.

作函數(shù)θ1(x)如下：在第一類的20個(gè)區(qū)間上，當(dāng)x∈1[]3,2[]3時(shí)，θ1(x)=1[]2.在第二類的21個(gè)區(qū)間上，當(dāng)x∈1[]9,2[]9時(shí)，θ1(x)=1[]4；當(dāng)x∈7[]9,8[]9時(shí)，θ1(x)=3[]4.在第三類的22個(gè)區(qū)間上，θ1(x)依次取1[]8,3[]8,5[]8,7[]8.在第n類的2﹏-1個(gè)區(qū)間上，θ1(x)依次取1[]2琻,3[]2琻,5[]2琻,7[]2琻,…，2琻-1[]2琻，n∈N*.

于是θ1(x)在P的余集G上有了定義且它在G的任一構(gòu)成區(qū)間上為常數(shù)，顯然θ1(x)在G上是增函數(shù).

在P上θ1(x)的定義：θ1(0)=0,θ1(1)=1.對(duì)任一介于0與1之間的P中的點(diǎn)x0，令θ1(x0)=﹕up玿

記θ(x)=θ1(x)+x,則θ(x)在［0,1］上連續(xù)且嚴(yán)格上升，因而存在反函數(shù).易知θ(［0,1］)=［0,2］,m{θ［0,1］-P}=1,m［θ(P)］=1.

ァ靜慰嘉南住開

［1］實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社,1983.

［2］實(shí)變函數(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社,2007.

［3］實(shí)變函數(shù)論與泛函分析［M］.北京：高等教育出版社,2004.

［4］實(shí)變函數(shù)與泛函分析［M］.濟(jì)南：山東大學(xué)出版社,2005.オ