關(guān)于圓錐曲線動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程的研究

羅誠 孫小迎

【摘要】解析幾何中圓錐曲線動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡問題，對(duì)于一般學(xué)生來說是個(gè)很難解決的問題，那么對(duì)圓錐曲線動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡的研究就很有必要.從中可以給出一般性的結(jié)論，這樣不管是在理論研究還是實(shí)際問題的計(jì)算過程中都有非常實(shí)際的應(yīng)用和指導(dǎo)意義.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;動(dòng)弦;中點(diǎn)的軌跡;參數(shù)法;點(diǎn)差法;定長;定點(diǎn);定斜率オ

直線與圓錐曲線相交所得動(dòng)弦的中點(diǎn)的軌跡方程問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考經(jīng)久不衰的熱點(diǎn).作為少數(shù)民族本科預(yù)科生應(yīng)該重點(diǎn)理解并掌握這一知識(shí)點(diǎn).對(duì)于圓錐曲線動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡方程的求法我們常用的方法有以下兩種，即參數(shù)法和點(diǎn)差法.對(duì)于圓錐曲線動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡問題可分為下列三種情況進(jìn)行討論：

一、圓錐曲線中過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡

過定點(diǎn)且與橢圓（注：圓為橢圓當(dāng)長半軸和短半軸相等時(shí)的一個(gè)特例，可類似地討論，與以下橢圓的結(jié)論類似，不再重復(fù)）相交的中點(diǎn)弦的軌跡方程，我們有如下結(jié)論成立.

定理1 過平面上一點(diǎn)C(x0,y0)向橢圓x2[]a2+y2[]b2=1引弦，那么其動(dòng)弦的中點(diǎn)的軌跡方程為:x(x-x0)[]a2+y(y-y0)[]b2=0.

證明 設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y)，弦的方程為y-y0=﹌(x-獂0)，代入橢圓方程可得

b2x2+a2［k(x-x0)+y0］2=a2b2，展開后化簡得

(b2+a2k2)x2-2(a2k2x0-a2ky0)x+a2(k2x20-2kx0y0+﹜20-猙2)=0.

由韋達(dá)定理知x=x1+x2[]2=a2k2x0-a2ky0[]b2+a2k2，且弦的中點(diǎn)也在直線上，所以將k=y-y0[]x-x0代入可得x(x-x0)[]a2+y(y-y0)[]b2=0，此即我們所求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.很明顯，當(dāng)點(diǎn)C(x0,y0)在橢圓內(nèi)時(shí)，過C點(diǎn)的任意弦都會(huì)與橢圓相交，此時(shí)要討論當(dāng)弦垂直于x軸的情況；當(dāng)點(diǎn)C(x0,y0)在橢圓外時(shí)，過C點(diǎn)的任意弦不一定都會(huì)與橢圓相交.

定理2 過平面上一點(diǎn)C(x0,y0)向雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1引弦，那么其動(dòng)弦的中點(diǎn)的軌跡方程為:x(x-x0)[]a2-y(y-y0)[]b2=0.

定理3 過平面上一點(diǎn)C(x0,y0)向拋物線y2=2px引弦，那么其動(dòng)弦的中點(diǎn)的軌跡方程為:y(y-y0)=2p?x-x0[]2.

二、圓錐曲線中斜率為定值的平行弦的中點(diǎn)的軌跡

定理4 橢圓x2[]a2+y2[]b2=1中斜率為k的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程為:x[]a2+ky[]b2=0.

定理5 雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1中斜率為k|k|>b[]a的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程為:x[]a2-ky[]b2=0.

定理6 拋物線y2=2px中斜率為k（k≠0）的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程為:ky=p.

三、圓錐曲線中長為定值的弦的中點(diǎn)的軌跡

長為定值的弦的中點(diǎn)的軌跡方程常用點(diǎn)差法來求解，一般的做法是：設(shè)其中點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0,y0)，弦與圓錐曲線的交點(diǎn)為A(x1,y1)和B(x2,y2)，利用點(diǎn)差法用x,y表示k〢B，求出直線AB的點(diǎn)斜式方程，再代入圓錐曲線方程，用弦長公式求解即可.

定理7 已知橢圓方程為x2[]a2+y2[]b2=1，那么橢圓中定長為l的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為:41-x2[]a2+y2[]b2a4y2+b4x2[]a2y2+b2x2=l2.

定理8 已知雙曲線方程為x2[]a2-y2[]b2=1，那么雙曲線中定長為l的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為:41-x2[]a2-y2[]b2a4y2+b4x2[]a2y2-b2x2=l2.

定理9 已知拋物線方程為y2=2px，那么拋物線中定長為l的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為:4(2px-y2)1+y2[]p2=l2.

總之，利用參數(shù)法和點(diǎn)差法得出了關(guān)于圓錐曲線動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡的一些非常精練的結(jié)論，在實(shí)際應(yīng)用中有非常大的應(yīng)用，并且對(duì)于一些實(shí)際的理論起指導(dǎo)作用.オ

【參考文獻(xiàn)】オ

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