輸油管的布置數(shù)學(xué)模型

吳麗華 程敬松

【摘要】解決兩個問題：一、根據(jù)兩家煉油廠、鐵路線、待建車站間的位置關(guān)系，給出鋪設(shè)輸油管管道的三種合理方案及對應(yīng)的最少鋪設(shè)費用.二、結(jié)合具體數(shù)據(jù)，得出三種鋪設(shè)管道方案中的最小費用及最佳鋪設(shè)方案.

【關(guān)鍵詞】最少費用；加權(quán)平均；數(shù)學(xué)模型オ

問題一 某油田欲在長度為L的鐵路線一側(cè)建造煉油廠A，B，它們到鐵路線的垂足為C，D（見附圖），同時在鐵路線上建一個車站E運送成品油，根據(jù)煉油廠到鐵路線距離a,b和煉油廠間距離的不同情形，提出設(shè)計方案.設(shè)計方案時，應(yīng)考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形，管線的鋪設(shè)費用不因地質(zhì)、深度等客觀因素而增加.

附圖 煉油廠、鐵路位置圖

建立直角坐標(biāo)系，利用對稱性得出車站的選址應(yīng)在C,D之間.針對共同管線長度s在s=0,0a情況下，給出鋪設(shè)方案.

方案1 s=0，即煉油廠需要各自鋪設(shè)管線來完成運輸工作.圖1給出A，B到車站E之間的最短路徑AE+BE，則鋪設(shè)管線的長度AE+EB=L2+（a+b)2，鋪設(shè)管線費用Q1的最低值為

玀in玅1=q1×L2+(a+b)2，其中，q1為非共用管線的費用.

方案2 0

圖1 管線布置方案1 圖2 管線布置方案2オオ

當(dāng)q1≠q2時，鋪設(shè)管線費用Q2的最低值為玀in玅2=﹒1×狶2+(b+2s-a)2+q2×s.其中，s為共用管線的長度，q2為共用管線費用.

當(dāng)q1=q2時，玀in玅2=q1×（L2+（b+2s-a)2+s).

方案3 s=a，可以找出A,B到車站E之間的最短路徑BA+AE，見圖3.

圖3 管線布置方案3オオ

當(dāng)q1≠q2時，鋪設(shè)管線費用Q3的最低值為玀in玅3=﹒1×狶2+(b-a)2+q2×a.

當(dāng)q1=q2時，玀in玅3=q1×（L2+(b-a)2+a).

方案4 s>a，可分為3種情況：ab.

圖4 管線布置方案4オオ

這3種情況的最短路線均大于s=a時的路線長，故該方案不予采用.

綜上所述，方案1，2，3為合理的管線布置方案.

問題二 若附圖中a=5，b=8，c=15，l=20（玨m），且〢廠位于郊區(qū)（Ⅰ區(qū)域），B廠位于城區(qū)（Ⅱ區(qū)域），虛線為分界線.所有管線的鋪設(shè)費用為每千米7.2萬元，城區(qū)的管線鋪設(shè)還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，為對此項附加費用進(jìn)行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二、三具有乙級資質(zhì)）進(jìn)行了估算，結(jié)果如下表所示：

工程咨詢公司[]公司一[]公司二[]公司三

附加費用（萬元/玨m）[]21[]24[]20

請給出管線布置方案及相應(yīng)的費用.

附加費用的單價可根據(jù)三家工程咨詢公司的估算值計算.

用極差法構(gòu)造比較矩陣F和判斷矩陣G，求出權(quán)重向量.

F=(f﹊j)=F[]g1[]g2[]g3[]r璱

g1[]1[]2[]2[]5

g2[]0[]1[]1[]2

g3[]0[]1[]1[]2

其中當(dāng)g璱比g璲（i≠j）重要時，f﹊j=2；當(dāng)g璱與g璲同等重要時，f﹊j=1；當(dāng)g璲比g璱（i≠j）重要時，f﹊j=0.r璱=А5[]j=1f﹊j(i,j=1,2,3).

G=(g﹊j)=g[]g1[]g2[]g3[]M璱[]W璱[]￤璱

g1[]1[]9[]9[]81[]4.32[]0.82

g2[]0.11[]1[]1[]0.11[]0.48[]0.09

g3[]0.11[]1[]1[]0.11[]0.48[]0.09

其中M璱=А3[]j=1g﹊j，W璱=3[]M璱，￤璱=W璱[]∑3[]i=1W璱В╥=1,2,3），А3[]i=1W璱=5.28，А3[]i=1И￤璱=1.

得三家工程咨詢公司估算值的權(quán)重向量為（0.82,0.09,0.09），則城區(qū)附加費用

q=21×0.82+24×0.09+20×0.09=21.28（萬元/玨m）.

由于煉油廠B的鋪設(shè)管線受城區(qū)管線長度和郊區(qū)管線長度的限制，在城郊分界線上有點B′(c,z)(0≤z≤8)，使經(jīng)過該點的管線總費用最低.同時鋪設(shè)管線共分為4段距離：A到E的管線、B′到E的管線、城區(qū)內(nèi)鋪設(shè)管線、共用管線.通過分析E的位置和共用管線長度s的不同情況，并根據(jù)方案1，2，3分別找出目標(biāo)函數(shù)，可列出費用的數(shù)學(xué)模型.

方案1 玀in玅1=7.2×((z+5)2+152+52+(8-z)2)+21.18×52+(8-z)2.

玸.t.0≤z≤8.

用獿ingo求得：當(dāng)B′（15，7.19），車站為（6.15，0），無共用管線時，玀in玅1=282.916萬元.

方案2 圖2中記點F(x,y).

玀in玅2=7.2×(y+152+(z-2y+5)2+52+(z-8)2)+21.18×52+(z-8)2.

玸.t.(5-y)(15-x)=x(z-y),

15y-(z-5)x≤75,

0≤x≤15,

0≤y≤8,

0≤z≤8.

解得：B′（15，7.36）,E（5.45，0），共用管線長1.85 玨m時，玀in玅2=281.085萬元.

方案3 玀in玅3=7.2×(5+(z-5)2+152+52+（z-8）2）+21.18×52+（z-8）2.

玸.t.0≤z≤8.

解得：B′（15，7.77），E（0，0），共用管道長5 玨m時，玀in玅3=287.876萬元.

顯然，方案2總費用最少,為281.085萬元，具體管線的布置見圖5.

圖5 管線布置最優(yōu)方案オオ

該類解決問題的方法也可推廣應(yīng)用于港口的貨物調(diào)運和求公路、鐵路以及管道等交叉線路的鋪設(shè)費用最小值等問題.