實線性空間強有效性的性質(zhì)

陳劍塵 儲慧英

【摘要】在實線性空間中引進(jìn)序有界線性泛函和強有效性，通過序有界基泛函研究強有效性的一些性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】實線性空間；序有界；基泛函；強有效性

【基金項目】國家自然科學(xué)基金資助項目（11061023）；江西省自然科學(xué)基金資助項目（2010GZS0176）；博士啟動金（EA200907383）；南昌航空大學(xué)研究生科技創(chuàng)新基金（YC2010020）オ

獵heng和Fu［1］在局部凸空間中引進(jìn)了強有效的概念，并且討論了強有效性和其他有效性之間的關(guān)系.武育楠等［2］和王其林［3］分別在Hausdorff局部凸拓?fù)湎蛄靠臻g中在錐—類凸和廣義錐次似凸假設(shè)下研究了集值映射向量優(yōu)化問題的強有效性，獲得了包括其標(biāo)量化在內(nèi)的一些結(jié)論.徐義紅［4-6］在近似錐次類凸假設(shè)下利用了凸集分離定理和擇一性定理得到了集值映射向量優(yōu)化問題的強有效性的Kuhn睺ucker與Lagrange最優(yōu)性條件的充分和必要條件,余麗［7］在內(nèi)部錐類凸假設(shè)下利用凸集分離定理得到了強有效解的Lagrange乘子定理，而徐義紅等［8］討論了當(dāng)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是弧連通錐凸時強有效解的最優(yōu)性條件.尚無人在只有線性結(jié)構(gòu)沒有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的實線性空間中對強有效性問題進(jìn)行研究.

本文將強有效的概念推廣到?jīng)]有拓?fù)渲挥芯€性結(jié)構(gòu)的實線性空間中，并在實線性空間中定義序有界線性泛函，通過序有界基泛函來研究強有效性，得到強有效性的一些性質(zhì).這些性質(zhì)是今后在實線性空間中進(jìn)一步研究強有效性的關(guān)鍵工具，具有十分重要的作用.

1.基本概念

假設(shè)X為實線性空間，X′為X的代數(shù)對偶空間，C是X的非平凡凸錐.設(shè)A糥為任一非空子集，A的正對偶和嚴(yán)格正對偶分別定義為A+={l∈X′:〈l,a〉≥0,衋∈A}和A+s={l∈X′:〈l,a〉>0,衋∈A＼{0瓁}}.

定義1.1［9］ 稱錐玞one(A)={x∈X:靚恕0,a∈A,x=λa}為A的生成錐.

定義1.2［10］ 設(shè)A糥為任一非空子集,A的代數(shù)內(nèi)部和相對代數(shù)內(nèi)部分別定義為オ玞or(A)={x∈A:衳′∈X,靚恕>0,笑恕剩0,λ′］,x+λx′∈A}.

玦cr(A)={x∈A:衳′∈L(A),靚恕>0，笑恕剩0,λ′］,﹛+λx′∈A}.

若錐C滿足C∩（-C）={0}，則C為點錐.

定義1.3［9］ 稱凸錐{0}≠C的凸子集B為C的一個基是指衳∈C＼{0}，都存在λ>0,b∈B，使得x=λb且表示唯一.

定義1.4［11］ 設(shè)A糥為任一非空子集，A的代數(shù)閉包和向量閉包分別定義為

玪in(A)=A∪{x∈A:鯽∈A,［a,x)糀}.

玽cl(A)={b∈X:鰔∈X,笑恕>0,靚恕剩0,λ′］,b+λx∈A}.

容易得出A吉玪in(A)吉玽cl(A).

若A分別滿足A=玪in(A)和A=玽cl(A)，則稱A分別為代數(shù)閉集和向量閉集.因此若A是向量閉，則A也是代數(shù)閉.在拓?fù)渚€性空間X中，則A的拓?fù)鋬?nèi)部、相對內(nèi)部、拓?fù)溟]包分別記為玦nt(A)，玶i(A)，玞l(A)，故玽cl(A)吉玞l(A).于是若A是拓?fù)溟]集，則一定是向量閉集.對于拓?fù)鋬?nèi)部非空的凸集來說，其拓?fù)溟]包、向量閉包和代數(shù)閉包都是一致.

定義1.5［12］ 設(shè)C為X的序凸錐,若a≤b,稱集合﹞x:a≤猉≤b}為X上由a和b關(guān)于序錐C的序區(qū)間.記為［a,b］.

定義1.6［12］ 設(shè)C為X的序凸錐,稱A為X的非空子集為序有界的,若存在a,b∈X且a≤cb,有A跡踑,b］.

定義1.7 設(shè)X為實線性空間，定義X°為將X中序區(qū)間映成有界的實數(shù)集的線性泛函的全體所組成的集合，稱為X的序有界對偶空間.

顯然有:(1)X°糥′；

(2)若f∈X′且f為單調(diào)的，則一定有f∈X°，即X°≠В華

(3)若A糥，類似地有（A+）°={l∈X°:〈l,a〉≥0,┆衋∈狝}為A的序有界正對偶,(A+s)°={l∈X°:〈l,a〉>0,衋∈A＼{0瓁}}為A的序有界嚴(yán)格正對偶；

(4)若B為實線性空間X的凸錐C的基,那么存在f0∈X′＼{0X′獇，使得衎∈B，都有〈f0,b〉=1，且f0為X上單調(diào)線性泛函，故f0∈X°；

（5）稱B﹕t={f∈X′:鰐>0,玸.t.〈f,b〉≥t,衎∈B}為錐C的基泛函.顯然有B﹕t≠.當(dāng)B為凸錐C的序有界基時,類似地可以定義序有界基泛函為(B﹕t)°={f∈X°:鰐>0,┆玸.t.〈f,b〉≥t,衎∈B}.(B﹕t)°糂﹕t糃+s糃+和(B﹕t)°≠И┚顯然成立.

2.主要結(jié)果

在本節(jié)中假設(shè)X為實線性空間，A糥，C為X中相對代數(shù)內(nèi)部非空的向量閉凸點錐，B為C的基.

下面在實線性空間中引進(jìn)強有效性.

定義2.1 假設(shè)X為實線性空間，C為X中相對代數(shù)內(nèi)部非空的向量閉凸點錐，B為C的基，A為X中的非空子集.稱x0∈A為集合A關(guān)于錐C的強有效點是指若對于任意的f∈X°，都存在凸吸收集U和凸平衡吸收集V，使得〈f,K∩(U-玞one(V+B))〉有界.其中K=玽cl［玞one(A-x0)］.

記GE(A,C)為A關(guān)于錐C的強有效點的全體.

注2.1 由上定義可得若x0∈GE(A,C)，則對任意的ゝ∈猉°，都存在凸吸收集U和凸平衡吸收集V，使得〈f,玞one(A-x0)∩(U-玞one(V+B))〉有界.

引理2.1 設(shè)X為實線性空間，A為X中的非空子集，ゝ∈猉′＼{0X′獇.若{〈f,A〉}為有界集，則{〈f,玽cl獳〉}為有界集.

證明 假設(shè){〈f,玽cl獳〉}為無界集,則對于任意的n∈N都存在x璶∈玽cl獳，使得〈f,x璶〉>n.由向量閉包的定義知對于﹛璶∈玽cl獳，鰕璶∈X,鯩璶>n，有x璶+1[]M璶y璶∈A.記z璶=x璶+1[]M璶y璶，故z璶∈A.由{〈f,A〉}為有界集知〈f,z璶〉為一有界數(shù).而另一方面知〈f,z璶〉=〈f,x璶+1[]M璶y璶〉>n+1[]M璶〈f,y璶〉，而由n∈N的任意性知〈f,z璶〉為無界數(shù)，這與前面證明的〈f,z璶〉為一有界數(shù)矛盾.故假設(shè)不成立，于是{〈f,玽cl獳〉}為有界集.

定理2.1 設(shè)X為實線性空間，A為X中的非空子集，C為X中相對代數(shù)內(nèi)部非空的向量閉凸點錐，B為C序有界基，則(1)GE(A+C,C)糋E(A,C)；（2）衳0∈GE(A,C)，衒∈(B﹕t)°，存在凸吸收集U0和凸平衡吸收集V0，使得〈f,玽cl(玞one(A+C-x0))∩(U0-玞one(V0+B))〉有界.

證明 (1)令x0∈GE(A+C,C)，由強有效點的定義知衒∈X°，都存在凸吸收集U和凸平衡吸收集V，使得〈f,﹙cl［玞one(A+狢-x0)］∩［U-玞one(V+B)］〉有界.由于0∈C，于是(A-x0)(A+C-x0)，進(jìn)一步玽cl(玞one(A-x0))吉玽cl(cone(A+C-x0)).從而對于上述的f存在上述的U和V使得〈f,玽cl［玞one(A-x0)］∩［U-玞one(V+B)］〉有界.即x0∈GE(A,C)，故GE(A+C,C)糋E(A,C).

(2)假設(shè)結(jié)論不成立，則鰔′∈GE(A,C),鰂0∈(B﹕t)°，對于任意的凸吸收集U和任意的凸平衡吸收集V有

〈f0,玽cl(玞one(A+C-x′))∩(U-玞one(V+B))〉.(1)

無界.

由注2.1和引理2.1可得〈f0,玞one(A+C-x′)∩［U-玞one(V+B)］〉無界.由于U,V為任意的，特別地取V=U，于是

〈f0,玞one(A+C-x′)∩［U-玞one(U+B)］〉.(2)

無界.

由x′∈GE(A,C)知對于上述的f0∈(B﹕t)°，存在凸吸收集U及凸平衡吸收集V，使得〈f0,玞one(A-x′)∩［U-┆玞one(￢+狟）］〉有界.特別地取U^=U∩V，則

〈f0,玞one(A-x′)∩［U^-玞one(U^+B)］〉有界.（3）

令〈|f0|,x〉=|〈f0,x〉|，衳∈X,則|f0|為X上的半范，且由拓?fù)渚€性空間知識可得在X上存在由該半范生成的唯一的拓?fù)銽﹟f0|，使得(X,T﹟f0|）為局部凸空間，且ω=﹞f-10(εU0):ε>0，U0為R中開單位球}為它的一個零元鄰域基.在(2)式中令U=U璶，而U璶=f-101[]nU0，其中n∈N.于是U璶∈ω.故衝∈N，鯩璶∈〈f0,玞one(A+C-x′)∩［U璶-玞one(U璶+B)］〉，使得M璶>N.則鰔璶∈{［玞one(A+C-x′)］∩［U璶-玞one(U璶+B)］}使得〈f0,x璶〉≥M璶.于是{〈f0,x璶〉}趨于+∞的數(shù)列.故存在λ璶≥0,a璶∈A,c璶∈C,﹗′璶∈猆璶,u″璶∈U璶,μ璶≥0,b璶∈B，使得

x璶=λ璶(a璶+c璶-x′)=u′璶-μ璶(u″璶+b璶).(4)

于是

〈f0,x璶〉=〈f0,u′璶〉-μ〈f0,u″璶〉-μ璶〈f0,b璶〉.(5)

由于u′璶∈U璶,u″璶∈U璶，對于由|f0|引進(jìn)的拓?fù)湟约皀的任意性知u′璶，u″璶均為趨于0璛.故〈f0,u′璶〉,〈f0,u″璶〉均趨于0.由于B為C序有界基以及f∈X可得〈f0,b璶〉有界，于是由(5)式知{μ璶}為無界實數(shù)集.

由c璶∈C=玞one(B)知，鯾′璶∈B，ρ璶≥0,使得c璶=ρ璶b′璶.由(4)式可得ウ霜璶(a璶-x′)=u′璶-μ璶(u″璶+b璶)-λ璶ρ璶b′璶.(6)

當(dāng)μ璶=0時，由(6)式可得

λ璶(a璶-x′)=u′璶-λ璶ρ璶b′璶∈U璶-玞one（B）糢璶-ヽone(U璶+狟).

當(dāng)μ璶≠0時，令a璶=1+λ璶ρ璶[]μ璶≥1，則由(6)式可得λ璶(a璶-x′)=u′璶-μ璶a璶u″璶[]a璶+b璶a璶+1-1[]a璶b′璶

.由于B為凸集知鯾^璶∈B，使得b璶a璶+1-1[]a璶b′璶=b^璶.于是λ璶(a璶-x′)=﹗′璶-μ璶a璶u″璶[]a璶+b^璶∈U璶-玞one(U璶+B).故

λ璶(a璶-x′)∈玞one(A-x′)∩(U璶-玞one(U璶+B)).(7)

由n的任意性及(3),(7)式可得{〈f0,λ璶(a璶-x′)〉}為有界實數(shù)集.

另一方面，當(dāng)μ璶≠0時，有〈f0,λ璶(a璶-x′)〉=〈f0,u′璶〉-μ璶a璶〈f0,u″璶〉[]a璶+〈f0,b^璶〉.由f0∈(B﹕t）°知鰐>0，使得〈f0,b^璶〉>t[]2(n→∞).再由前面的證明知〈f0,u′璶〉,〈f0,u″璶〉均趨于0，和{μ璶}為無界實數(shù)集，于是〈f0,λ璶(a璶-x′)〉→∞(n→∞)與前面{〈f0,λ0(a璶-x′)〉}為有界實數(shù)集矛盾.故結(jié)論成立.即衳0∈GE(A,C)，衒∈(B﹕t)°，存在凸吸收集U0和凸平衡吸收集V0，使得〈f,玽cl(玞one(A+C-x0))∩(U0-玞one(V0+B))〉有界.

注2.2 設(shè)X為實線性空間，A為X中的非空子集，C為X中相對代數(shù)內(nèi)部非空的向量閉凸點錐，B為C序有界基,GE(A,C)糋E(A+C,C)不一定成立.

例 設(shè)X=R2，C=R+，A={（1，2）}，定義X上的線性泛函為〈f,(x,y)〉=x+y，則(1,2)∈GE(A,C)，但(1,2)麲E(A+C,C).

事實上，由于C=R+為X中相對代數(shù)內(nèi)部非空的向量閉凸點錐，且可知C有基B.B顯然為序有界基，又由〈f,(x,y)〉=x+y知{〈f,B〉}為有界集.

類似以上定理中的證明令〈|f|,x〉=獆〈f,x〉|，衳∈X，則|f|為X上的半范，且由拓?fù)渚€性空間知識可得在X上存在由該半范生成的唯一的拓?fù)銽﹟f|，使得(R2,T﹟f|）為局部凸空間，且ω={f-1(εU0):ε>0,U0為R中開單位球}為它的一個零元鄰域基.

令U為(R2,T﹟f|)中的任一鄰域，則

(U-玞one(B+U))=R2，

進(jìn)而玽cl(玞one(A-(1,2)))∩(U-玞one(B+U))={(0,0)}，

故〈f,玽cl(玞one(A-(1,2))）∩(U-玞one(B+U))〉=0.

即（1，2）∈GE(A,C).

而玽cl(玞one(A+C-(1,2)))∩(U-玞one(B+U))=R+,

則{〈f,玽cl(玞one(A+C-(1,2)))∩(U-玞one(B+U))〉}為無界集.即(1,2)麲E(A+C,C).オ

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