數(shù)學(xué)思想在解題中的幾種運(yùn)用

張國(guó)明

數(shù)學(xué)科學(xué)的知識(shí)包括數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法兩部分.數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出的一些普遍存在的規(guī)律.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它反映在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容里面，體現(xiàn)在解決問(wèn)題的過(guò)程之中，它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.只有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)知識(shí)和技能轉(zhuǎn)化為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

一、分類(lèi)討論的思想

分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置.所謂分類(lèi)討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別研究得出每一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.分類(lèi)對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論.明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的全體，確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類(lèi)；逐類(lèi)進(jìn)行討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論.

分類(lèi)討論的一般步驟是：（1）確定討論對(duì)象和確定研究的全域；（2）進(jìn)行科學(xué)分類(lèi)（按照某一確定的標(biāo)準(zhǔn)在比較的基礎(chǔ)上分類(lèi)），“比較”是分類(lèi)的前提，“分類(lèi)”是比較的結(jié)果，分類(lèi)時(shí)，應(yīng)不重復(fù)，不遺漏；（3）逐類(lèi)討論；（4）歸納小結(jié)，整合得出結(jié)論.

例1 (2006年遼寧)已知函數(shù)f(x)=1[]2(玸in玿+玞os玿)-1[]2|玸in玿-玞os玿|,則f(x)的值域是().

獳.［-1,1］ B.-2[]2,1

C.-1,2[]2D.-1,-2[]2

解析 f(x)=1[]2(玸in玿+玞os玿)-1[]2|玸in玿-玞os玿|=玞os玿(玸in玿≥玞os玿),

玸in玿(玸in玿<玞os玿).

即等價(jià)于{玸in玿,玞os玿}┆玬in，故選擇答案獵.

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值的定義、分段函數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生分類(lèi)討論思想和估算能力.

二、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)(量)與圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究、解決問(wèn)題的一種思維策略.數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái).數(shù)形結(jié)合思想的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適用的幾何圖形并利用圖形的特征和規(guī)律，解決數(shù)的問(wèn)題；或?qū)D形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，削弱或消除形的推理部分，使要解決的形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.其本質(zhì)是：使抽象的數(shù)與直觀的圖互相聯(lián)系、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化，使抽象問(wèn)題直觀化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而優(yōu)化解題途徑.

基本方法：（1）數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問(wèn)題.（2）圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問(wèn)題.（3）數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)相互對(duì)照、相互滲透實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.

例2 如果實(shí)數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=3,則y[]x的最大值為（）.

獳.1[]2 B.3[]3 C.3[]2 D.3

シ治 等式（x-2)2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，圓心為（2,0),半徑r=3（如圖），而y[]x=y-0[]x-0，則表示圓上的點(diǎn)(x,y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0)的連線的斜率.如此以來(lái)，該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA的斜率的最大值.由圖可見(jiàn)，當(dāng)∠A在第一象限，且與圓相切時(shí)，OA的斜率最大，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，得最大值為玹an60°=3，選獶.

點(diǎn)評(píng) 利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，要注意數(shù)與形的完整結(jié)合，由數(shù)想形時(shí)，一定要準(zhǔn)確、全面，特別是圖形一定要準(zhǔn)確.

數(shù)形結(jié)合常用的輔助工具：數(shù)軸(直角坐標(biāo)系)、兩點(diǎn)間距離公式、向量的模、函數(shù)的圖像、曲線的方程、直線的斜率與截距、二元一次不等式表示平面區(qū)域等.

三、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數(shù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來(lái)考慮問(wèn)題、研究問(wèn)題和解決問(wèn)題.所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過(guò)設(shè)未知數(shù)、列方程或方程組、解方程或方程組等步驟，達(dá)到求值目的的解題思路和策略，它是解決各類(lèi)計(jì)算問(wèn)題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ).

函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通過(guò)方程進(jìn)行研究.