高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想的關(guān)系及培養(yǎng)

張家珩

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，它貫穿著中學(xué)代數(shù)的始終，成為高中數(shù)學(xué)的一條主線，注重函數(shù)與方程的思想方法的培養(yǎng)，也就成了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點之一.

一、概念上的區(qū)別與聯(lián)系

函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，也是函數(shù)的零點.函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0，通過方程進行研究.就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決.

函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點.

1.函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題.2.方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.方程的教學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題.方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系.

二、函數(shù)與方程的關(guān)系

函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＝0時，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)看作二元方程y-f(x)＝0.函數(shù)問題（例如求反函數(shù)、求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點.

三、函數(shù)思想的培養(yǎng)

1.函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y>0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式.

2.數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要.

3.解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.

4.立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.

另外，高三還要學(xué)導(dǎo)數(shù)，學(xué)好了可以幫助理解以前所學(xué)知識，學(xué)不好還會擾亂人的思路.高三中還需要注重函數(shù)與方程的思想方法的培養(yǎng)，這也是教學(xué)的重點.函數(shù)是刻畫客觀世界的一個基本數(shù)學(xué)模型.“用圖形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì).幾何直觀能力是利用圖形生動形象地描述數(shù)學(xué)問題，直觀地反映和揭示思考、討論問題的思路，揭示豐富多彩的數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，是新教材的要求，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求.因此，對于函數(shù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該與體會、感受和運用函數(shù)解決問題有機地結(jié)合起來.應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去思考函數(shù)的應(yīng)用問題，特別是思考函數(shù)在日常生活和其他學(xué)科的應(yīng)用.可以在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想.

四、方程思想的培養(yǎng)

分析題目中的未知量，根據(jù)條件布列關(guān)于未知數(shù)的方程（組），使原問題得到解決，叫構(gòu)造方程法，是應(yīng)用方程思想解決非方程問題的極富創(chuàng)造力的一個方面.

例題 已知玹anα玹anβ=3，玹anα-β[]2=2，求玞os(α+β).

分析 由題設(shè)的表面信息，企圖由三角函數(shù)的恒等變形得到目標(biāo)，將徒勞無功，極其艱難.因為欲求玞os(α+β)，必須先求玞osα，玞osβ，玸inα，玸inβ四個中間變量的值，然而題設(shè)僅有兩個方程，欲挖掘隱含，聯(lián)立求解，將非常費力，轉(zhuǎn)換思維角度，欲求玞os(α+β)，先求玞osα玞osβ=x，玸inα玸inβ＝y(tǒng)這兩個未知數(shù)的值，轉(zhuǎn)換為建立關(guān)于x，y的方程組，由玹anα玹anβ=3，即y[]x＝3得到一個方程，再由玹anα-β[]2=2設(shè)法演化出含x，y的方程，問題便迎刃而解.

解 ∵玹anα-β[]2=2,ァ嗒玞os(α-β)=1-玹an2α-β[]2[]1+玹an2α-β[]2=-3[]5,

設(shè)玞osα玞osβ=x，玸inα玸inβ＝y(tǒng)，ァ鄕+y=玞os(α-β)=-3[]5,

y[]x=3,

解得x=-3[]20,

y=-9[]30.

∴玞os(α+β)=x-y=3[]10.

點撥解疑 ①本例是用方程思想解三角問題的范例.②若題目條件分散，聯(lián)系隱蔽，難于發(fā)掘或解題過程十分繁難，應(yīng)主動應(yīng)用基本數(shù)學(xué)思想方法，靈活轉(zhuǎn)換思維角度，尋求優(yōu)秀解法.