利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分的方法和技巧

袁 榮

【摘要】利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).本文總結(jié)了利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分的條件和一般步驟，著重介紹了如何寫出積分區(qū)域D在極坐標(biāo)系下的不等式組表示的方法和技巧.

【關(guān)鍵詞】二重積分；極坐標(biāo)；積分區(qū)域

【中圖分類號(hào)】玂172オ

計(jì)算二重積分的一般方法是先選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后利用所選擇的坐標(biāo)系將二重積分化為累次積分，最后通過計(jì)算單積分求得二重積分；而化為累次積分的難點(diǎn)是積分上下限的確定.本文就極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算談一點(diǎn)體會(huì).

一、選用極坐標(biāo)計(jì)算的條件

通常的情形是以直角坐標(biāo)給出需要計(jì)算的二重積分，那么何時(shí)選用極坐標(biāo)系來計(jì)算二重積分呢？一般來說，積分區(qū)域的邊界曲線用極坐標(biāo)方程表示比較簡單的時(shí)候（如積分區(qū)域是圓盤、圓環(huán)、扇形，或?yàn)橛尚男尉€、雙紐線等圍成等），或者被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示比較簡單的時(shí)候(如被積函數(shù)是f(x2+y2)，fy[]x或fx[]y的形式等)，可以考慮選用極坐標(biāo).

二、寫出極坐標(biāo)系下積分區(qū)域D的不等式組表示

在采用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分時(shí)，通常都將它化為先對(duì)r、后對(duì)θ的累次積分，并且按極點(diǎn)O在積分區(qū)域之外、在積分區(qū)域的邊界上與在積分區(qū)域之內(nèi)三種不同的情形來確定對(duì)θ積分的積分上下限與對(duì)r積分的積分上下限，即將D在極坐標(biāo)下表示的不等式組寫出來.具體步驟一般如下：

（1）先根據(jù)題設(shè)條件畫出積分區(qū)域D的草圖；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，然后從O出發(fā)引射線穿過積分區(qū)域D，且射線與D的邊界最多兩個(gè)交點(diǎn)(部分邊界與射線重合的除外,否則將D分塊)，確定θ∈［α,β］；

（3）取定θ∈［α,β］，D中幅角為θ的點(diǎn)的極半徑r從﹔1(θ)變到r2(θ)，于是

D的極坐標(biāo)表示的不等式組可寫為D：α≤θ≤β,

r1(θ)≤r≤r2(θ).

則К隓f(x,y)玠玿玠珁=К隓f(r玞osθ,r玸inθ)r玠玶玠θ

=А要βαИ玠θА要﹔2(θ)﹔1(θ)Иゝ(r玞osθ,猺玸inθ)r玠玶.

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生不懂如何將D在極坐標(biāo)系下的不等式組表示寫出，這是造成二重積分困難和錯(cuò)誤的最大原因.

1.極點(diǎn)在積分區(qū)域D外或極點(diǎn)在積分區(qū)域D內(nèi)

D的極坐標(biāo)表示的不等式組一般較容易寫出，一般為

D：α≤θ≤β,

r1(θ)≤r≤r2(θ).

則オК隓f(x,y)玠玿玠珁=А要βαИ玠θА要﹔2(θ)﹔1(θ)f(r玞osθ,r玸inθ)r玠玶.

2.極點(diǎn)在積分區(qū)域D的邊界上

極點(diǎn)在積分區(qū)域D的邊界上時(shí),不少學(xué)生誤以為0≤│取塥β,比如下面的例1.

例1 設(shè)二重積分I=К隓f(x,y)玠玿玠珁,其中積分區(qū)域D是由曲線y=x+x2與直線y=3x所圍成的有界閉區(qū)域，將二重積分I化為極坐標(biāo)形式的二次積分.

圖 1解 積分區(qū)域D如圖1陰影部分：此題容易出錯(cuò)的是θ的范圍，常錯(cuò)誤的以為0≤θ≤π玔]3，其實(shí)因?yàn)閤軸在坐標(biāo)原點(diǎn)與曲線y=x+x2和直線y=3x都不相切，所以θ≠0.易知曲線﹜=獂+x2上點(diǎn)的幅角范圍就是θ的取值范圍，因此在曲線y=x+x2上任取一點(diǎn)P(x,y)，令┆玹anθ=獃[]x，而y=﹛+獂2,0≤x≤3-1.

所以玹anθ=y[]x=x+x2[]x=1+x，從而1≤玹anθ=1+x≤3，即π玔]4≤θ≤π玔]3.

К隓f(x,y)玠玿玠珁=А要π玔]3π玔]4И玠θА要(玹anθ-1)玸ecθ0f(ρ玞osθ,ρ玸inθ)ρ玠ρ.

此題求幅角θ的取值范圍的方法具有一般性，也是寫出積分區(qū)域D在極坐標(biāo)系下的不等式組表示的常用方法和技巧.

例2 求積分區(qū)域D={（x,y）|x2+y2≤2x}在極坐標(biāo)系下幅角θ的取值范圍.

解 因?yàn)榉e分區(qū)域D如圖2陰影部分：

圖 2オ

因?yàn)闃O點(diǎn)在積分區(qū)域D的邊界上,且曲線x2+y2=2x上點(diǎn)的幅角范圍就是θ的取值范圍，因此在曲線x2+y2=2x上任取一點(diǎn)P(x,y)，令玹anθ=y[]x，而y=±2x-x2,0≤﹛≤2.

所以玹anθ=y[]x=±2x-x2[]x=±2[]x-1，

從而-∞≤玹anθ≤+∞，即-π玔]2≤θ≤π玔]2.

三、靈活選擇積分次序

利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分時(shí)，一般選擇先對(duì)r積分后對(duì)θ積分，但還應(yīng)注意被積函數(shù)的特點(diǎn)，靈活選擇積分次序.

例3 利用極坐標(biāo)計(jì)算：I=К隓x玡瑈玠σ，其中D是圓周﹛2+獃2=1所圍成第一象限部分.

解 易見D的極坐標(biāo)表示的不等式組為

D：0≤θ≤π玔]2,

0≤r≤1.

則К隓x玡瑈玠玿玠珁=А要π玔]20И玞osθ玠θА要10r2玡﹔玸inθ玠玶，ビ捎詎А要10r2玡﹔玸inθ玠玶不易算出，因此考慮交換積分次序.

故К隓x玡瑈玠玿玠珁=А要10И玠玶А要π玔]20r2玡﹔玸inθ玞osθ玠玶=А要10r玠玶玡﹔玸inθπ玔]20=おА要10r(玡瑀-1)玠玶=1[]2.

通過上述例題可以看出利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分的方法和技巧還是很強(qiáng)的，為了學(xué)好二重積分的計(jì)算，需要掌握一定的方法和技巧.

ァ靜慰嘉南住開オ

［1］曹廣福等編.高等數(shù)學(xué)(二)［M］.北京：高等教育出版社,2009.

［2］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）［M］.北京：高等教育出版社,2002.

［3］鄭兆順.談二重積分的計(jì)算［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào),2007(16)：2.