芻議新課標高考中函數(shù)最值的求法

王杰士

函數(shù)最值問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一.它一直是新課標高考的一個重要的熱點問題，在新課標高考中占有極其重要的地位.為了讓大家能夠更加系統(tǒng)、全面地掌握函數(shù)最值問題的解決方法，下面就該問題的常用解法，分類淺析，以供參考.

一、定義法

例1 設函數(shù)f(x)的定義域為R，有下列三個命題：

①若存在常數(shù)M，使得對任意x∈R，有f(x)≤M，則M是函數(shù)f(x)的最大值；

②若存在x0∈R，使得對任意x∈R，且x≠x0，有f(x)

③若存在x0∈R，使得對任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的最大值.

這些命題中，真命題的個數(shù)是（）.

獳.0B.1C.2D.3

解析 根據(jù)函數(shù)的最大值的定義知，①是假命題：雖然滿足最大值定義中的任意性，但不滿足存在性，故①錯誤.②、③正確：實質上，它們是等價命題，都滿足最值定義中的兩個條件.故選獵.

點評 利用定義解決函數(shù)最值的相關問題時，其重要的一點就是要把握定義的內(nèi)涵，準確加以應用.需要注意的是：函數(shù)一定有值域，但不一定有最值，如函數(shù)f(x)=1[]x的值域為(－∞,0)∪(0,+∞)，但它沒有最大值，也沒有最小值.

二、函數(shù)單調性法

例2 設a>1，函數(shù)f(x)=玪og玜x在區(qū)間［a,2a］上的最大值與最小值之差為1[]2，則

a=.

分析 先判斷函數(shù)在指定區(qū)間上的單調性，再求出函數(shù)的最值，然后利用條件求得參數(shù)a的值.

解析 ∵a>1，

∴函數(shù)f(x)=玪og玜x在區(qū)間［a,2a］上是增函數(shù)，

∴函數(shù)在區(qū)間［a,2a］上的最大值與最小值分別為玪og璦2a,玪og璦a=1.

又 ∵它們的差為1[]2，∴玪og璦2=1[]2，a=4.故填4.

點評 解決這類問題的重要的一步就是判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調性.這一點處理好了，以下的問題就容易了.一般而言，對一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)在閉區(qū)間［m,n］上的最值：若函數(shù)f(x)在［m,n］上單調遞增，則f(x)┆玬in=f(m)，f(x)﹎ax=f(n)；若函數(shù)f(x)在［m,n］上單調遞減，則f(x)﹎in=f(n)，f(x)﹎ax=f(m)；若函數(shù)f(x)在［m,n］上不單調，但在其分成的幾個子區(qū)間上是單調的，則可以采用分段函數(shù)求最值的方法處理.

三、導數(shù)法

例3 函數(shù)f(x)=x3－3x+1在閉區(qū)間［－3,0］上的最大值、最小值分別是.

分析 先求閉區(qū)間上的函數(shù)的極值，再與端點函數(shù)值比較大小，確定最值.

解析 ∵f′(x)=3x2-3，∴令f′(x)=0，得x=－1.

又 f(－3)=－17，f(－1)=3，f(0)=1，

比較得，f(x)的最大值為3，最小值為－17.

故填3,－17.

點評 （1）利用導數(shù)法求函數(shù)最值的三個步驟：第一，求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；第二，求函數(shù)在端點的函數(shù)值ゝ(a)，f(b)；第三，比較上述極值與端點函數(shù)值的大小，即得函數(shù)的最值.（2）函數(shù)的最大值及最小值點必在以下各點中取得：導數(shù)為零的點，導數(shù)不存在的點及其端點.

四、換元法

例4 設a,b∈R，a2+2b2=6，則a+b的最小值是.

分析 由條件a2+2b2=6的形式知，可利用三角換元法求a+b的值.

解析 ∵a,b∈R，a2+2b2=6，∴令a=6玞osα，2b=6玸inα，α∈R.

∴a+b=6玞osα+3玸inα=3玸in(α+φ).

∴a+b的最小值是－3.故填－3.

點評 在用換元法時，要特別注意其中間變量的取值范圍.如本題換元后中間變量α∈R，這由條件a,b∈R可得到.

五、數(shù)形結合法

例5 對a,b∈R，記玬ax珅a,b|=a，a≥b，

b，a

分析 本題實質上是一個分段函數(shù)的最值問題.先根據(jù)條件將函數(shù)化為分段函數(shù)，再利用數(shù)形結合法求解.

解析 由|x+1|≥|x－2|，得(x+1)2≥(x－2)2，ァ鄕≥1[]2,

∴f(x)=|x+1|，x≥1[]2，

|x－2|，x<1[]2.

其圖像如圖所示.

由圖形易知，當x=1[]2時，函數(shù)有最小值，

∴f(x)┆玬in=f1[]2=1[]2+1=3[]2.故填3[]2.

點評 用數(shù)形結合的方法求解最值問題，其關鍵是發(fā)現(xiàn)問題條件中所隱含的幾何意義，利用這個幾何意義，就可以畫出圖形，從而借助圖形直觀解決問題.如將本題化為分段函數(shù)的最值問題后，可以用分段求解最值的方法去解.

以上給出的是求解函數(shù)最值問題時常用的基本方法，只要我們在復習中仔細研讀，把握要點，經(jīng)常運用，就一定能夠熟練掌握這些方法，并將它們靈活用于解決函數(shù)的最值問題之中.