針對高等數(shù)學概念理論教學的探討

郝 琳 朱亞紅 趙志輝

【摘要】針對高等數(shù)學基本概念、基本理論的教學，從揭示本原意義、問題驅動、歸納比較、借助軟件以及介紹數(shù)學史五個方面展開探討.

【關鍵詞】基本概念;基本理論;問題驅動;歸納比較;玀atlab;數(shù)學史

高等數(shù)學課程是一個復雜的演繹邏輯系統(tǒng)，演繹邏輯的出發(fā)點就是基本概念；以基本概念為基礎，運用正確的邏輯演繹方法得到的一系列理論成果就是基本理論；在邏輯演繹發(fā)展的過程中產生了一些基本方法，主要有證明、運算和應用.加強基本概念、基本理論的教學是高等數(shù)學教學中的永恒主題.筆者結合多年的高等數(shù)學教學體會，針對高等數(shù)學的概念理論教學展開以下幾點探討.

1.揭示基本概念、基本理論的本原意義

我們看到的高等數(shù)學的概念和理論，往往具有高度的抽象性,呈現(xiàn)出冰冷美麗的一面.但是在每一種數(shù)學概念和理論的背后，都蘊含著許多豐富多彩的數(shù)學科學的源泉，燃燒著數(shù)學家們火熱的思考.作為教師，一個重要的任務就是幫助學生發(fā)現(xiàn)隱藏在“冰冷美麗”后面的“火熱思考”，努力揭示基本概念、基本理論的本原意義.

例如，微積分的創(chuàng)立是為了處理17世紀四種類型的科學問題：（1）物體在任意時刻的速度和加速度.（2）曲線的切線——光學在17世紀得到了飛速發(fā)展，設計透鏡時要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線射入透鏡的角度，而這與曲線的法線或者說切線有著密切的關系.（3）函數(shù)的最值——隨著軍事的發(fā)展，研究炮彈能獲得最大射程的發(fā)射角成為迫切需要解決的問題；同時天文學中行星離開太陽的最遠和最近的距離也是17世紀很受關注的問題.（4）曲線的長度——行星在已知時期內移動的距離則需要計算曲線的長度.有了這些本原意義，再學習微積分的相關概念會自然很多，也不會再有“帽子里蹦出的兔子”的感覺了.

2.以問題驅動的形式組織教學

著名的數(shù)學家康托曾經(jīng)說過：“在數(shù)學的領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要.”把數(shù)學被發(fā)現(xiàn)時的本真問題加以提煉、加工，呈現(xiàn)給學生，以問題驅動的形式組織教學.這樣可以吸引學生主動思考，加深對概念的理解.例如講授“方向導數(shù)與梯度”時，以高山流水為背景，設計了如下問題：

①如何刻畫函數(shù)沿任一方向的變化率？——引出方向導數(shù)的概念.

②偏導數(shù)存在可以得到哪些方向的方向導數(shù)存在？——理清方向導數(shù)與偏導數(shù)的關系.

③在什么條件下任一方向的方向導數(shù)存在？——引出方向導數(shù)的計算公式.

④可微是方向導數(shù)存在的充分條件，是否必要條件？——理清可微與方向導數(shù)存在的關系.

⑤如何尋找方向導數(shù)最大的方向？——引出梯度的概念.

通過以上設計，層層設問，將活潑的數(shù)學思想從形式的海洋中提煉出來，從而激發(fā)學生強烈的求知欲，加深對概念的理解.

3.作好相似、相近或相關概念的歸納比較

歸納比較可以啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)不同對象的相似性質，明確區(qū)別與聯(lián)系，更好地掌握和運用知識.在教學中注意展示它們之間的內在聯(lián)系和相互區(qū)別.

例如，微積分以函數(shù)作為研究對象，而研究的主要方法是分析增量Δ玿和Δ珁的關系，可以說，增量分析是微積分的核心內容.以增量分析為線索，可以串聯(lián)微積分中的諸多基本概念和定理.連續(xù)是自變量增量趨于0時因變量增量的極限；導數(shù)是因變量增量與自變量增量之比的極限；微分中值定理給出了自變量增量和因變量增量之間的關系；┡！萊公式則利用函數(shù)增量給出了積分的計算表達式.再例如，多元函數(shù)和一元函數(shù)相關概念的比較，等等.

做好歸納比較可以讓學生從比較中學習，從比較中加深理解，從而從整體上把握所學到的諸多概念.

4.利用玀atlab軟件，展示數(shù)學的基本概念和基本理論

利用玀atlab軟件，展示數(shù)學的基本概念和基本理論，使抽象的知識變得簡單易懂、直觀生動.例如重要極限┆﹍im玿→0玸in玿[]x=1，首先利用玀atlab軟件作出函數(shù)y=玸in玿[]x的圖像（如圖1所示），可以看出當自變量x趨于0時，函數(shù)與1無限接近，進而猜測﹍im玿→0玸in玿[]x=1，為嚴格的證明提供了方向.

5.在教學中適當介紹數(shù)學家、數(shù)學史

在教學中可以介紹有關數(shù)學概念和符號發(fā)展歷程的數(shù)學史知識.例如積分符號，符號大師萊布尼茨于1675年以“omn”表示積分，而omn為omnia（意即所有、全部）之縮寫，但是這個符號不夠精練，其后他又改寫為拉長的字母“s”——∫，是sum（和）的首位字母，這個符號一直沿用至今.通過這樣的講解，不僅可以加深學生對積分概念的理解，而且對積分的感覺也親切了很多.

教學中同時還可以介紹數(shù)學家的名言、珍聞軼事.數(shù)學定理大都以數(shù)學家來命名，講授數(shù)學知識的同時，介紹數(shù)學家的名言、珍聞軼事，可以拉近學生與數(shù)學的距離，以比較放松的心態(tài)對待數(shù)學學習，同時學到一些課本上學不到的知識.例如，自學成才的英國數(shù)學家格林的故事，以及在艱苦的環(huán)境下仍然堅持科學研究的挪威數(shù)學家阿貝爾的故事都對培養(yǎng)學生良好的心理素質和堅強的意志力很有幫助.

學生是學習的主體，如何激發(fā)他們學習的積極性與潛能，是一個老師的主要任務.如果能使學生被數(shù)學所吸引，那么他（她）一定是一位出色的數(shù)學老師.這應該是所有數(shù)學老師所努力達到的目標.

【參考文獻】オ

［1］同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅動的數(shù)學教學［J］.高等數(shù)學研究，2004（5）：8-10.