一類微氣泡耦合時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及Hopf分支*

王進斌，蔣衛(wèi)華

(1.太原科技大學;2.哈爾濱工業(yè)大學)

0 引言

Rayleigh［1］是最早分析氣泡系統(tǒng)的，他的工作主要是考慮處在常值外壓下的不可壓縮液體中的氣泡模型.Gilmore，Plesset和 Prosperetti［2－3］等研究的氣泡微分方程模型是處在可壓縮的液體中，并且液體背景外壓的變化依賴于時間.他們研究的模型就是著名的 Rayleigh－Plesset方程，方程中球型氣泡的動力學行為完全被氣泡的半徑所刻畫:

其中Δ =ρ-1(p(a)-p0)，p是液體的密度，p(a)是氣泡內部的壓強，是氣體的絕熱指數(shù)，k用來描述氣泡中氣體的數(shù)量，p0是指液體無窮遠點處的壓強.

對(1)進行無量綱化，得到

方程(2)僅考慮了液體中有一個球型氣泡的情形.若液體中有大量氣泡侵入，這種狀況由于氣泡間壓力波的存在，使得氣泡相互耦合.對于微氣泡時滯耦合系統(tǒng)的研究，人們更關心氣泡間的耦合同步現(xiàn)象.目前，Heckman C R和Rand R G［4］研究的氣泡耦合振子系統(tǒng)為:

他們對系統(tǒng)(3)在完全同步(a=b，˙a=˙b)的情形下，系統(tǒng)(3)變?yōu)?

作者僅在時滯T∈［0，T0］下，對系統(tǒng)(4)在平衡點附近的局部穩(wěn)定性做了討論.然而，在時滯T大范圍變化時，系統(tǒng)平衡點處的穩(wěn)定性和Hopf分支變化情況作者沒有作深入的研究.該文將主要對微氣泡耦合時滯系統(tǒng)(4)在時滯T大范圍變化時的局部穩(wěn)定性和Hopf分支作出研究.這里參數(shù)c，r，P是以系統(tǒng)(2)中被定義的，其中c表示聲速，r表示該液體的比熱比，P表示系統(tǒng)的耦合強度.

1 平衡點的穩(wěn)定性定性分析及Hopf分支存在性

對于系統(tǒng)(3)，可以解得平衡點(ae，be)=(1，1).

把(5)代入(4)式得

方程(6)對應的特征方程為:

下面將對方程(7)根的分布進行定性分析:

①當T=0時，方程(7)化為二次方程為:

解得其根為

②當T≠0時，假設iω(ω＞0)是特征方程(7)的解，代入分離實虛部得:

將該二式的兩端平方相加得到

為了方便，記

其中A=c2，B=9r2－6c2r-P2，E=9r2c2，t=ω2.

解得，當P＞3r時

則有

引理1.1 當P＞3r時，

證明 由(10)可得出

于是有

而

則

即有

當P＞3r時，

利用Wei和Ruan在文獻［4］中的結論和引理1.1，進而得出如下結論:引理1.2當P＞3r成立時

① 當T∈［0，T0+］∪時，方程(8)的所有根的實部都是嚴格負的.

③當T取和Tk-時，方程(8)有一對簡單的純虛根.

定理1.1 當P＞3r成立時

2 模型物理現(xiàn)象的分析

流體中氣泡的受力狀況和運動規(guī)律是氣泡動力學研究的主要內容.早期對氣泡的研究是在假設流體體積在不可壓縮的情況下，去討論流體中球體微氣泡的產生和消失現(xiàn)象，研究常常采用著名的Rayleigh－Plesset方程.

在上一節(jié)中，得出系統(tǒng)(4)在平衡點處在時滯T變化時會出現(xiàn)不同的狀態(tài).時滯T在前文的分析中有如下表達式:

在固定聲速大小的情況下，兩氣泡之間的距離是與時滯T成正比的，而系統(tǒng)(4)零平衡點在時滯T超過某一臨界值時都是不穩(wěn)定的，并且系統(tǒng)的同步行為完全被破壞而產生混沌現(xiàn)象.即說明此時系統(tǒng)的耦合強度很小，而使得液體中的氣泡處在無序的狀態(tài)中.從圖1時滯T與耦合強度P之間的關系中可看出:時滯T是隨著耦合強度P的增大而減少的，即可說明T越大反而使得P變得越少.綜上所述可得出，系統(tǒng)中氣泡之間的耦合強度P是隨著氣泡之間的距離增大而減少的.這一結果與測試液體中氣泡動力學性質的物理實驗的結論是一致的.

圖1 當c=94，r=3/4時，T與P之間的變化關系圖

當耦合強度P→0時，系統(tǒng)(4)

中氣泡之間的相互影響趨近于零.系統(tǒng)由兩氣泡的同步耦合變?yōu)閱螝馀菡褡拥南到y(tǒng)(2)

在前文的研究中得出，系統(tǒng)(2)平衡點都是局部穩(wěn)定的.這也說明單氣泡振子系統(tǒng)在缺少耦合強度的影響下能保持較好的動力學性質，然而，在液體環(huán)境中由于氣泡的分裂與聚并，單氣泡振子這一情形不常出現(xiàn).因此，對雙氣泡振子系統(tǒng)的研究(4)能更好的接近氣泡模型本身.

3 結束語

該文分析了微氣泡耦合時滯系統(tǒng)的動力學性質.利用泛函微分方程的基本理論，對微氣泡系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性進行了分析并給出Hopf分支產生的條件.此外，從數(shù)學的角度分析并得到液體環(huán)境中氣泡之間的耦合強度P隨著氣泡之間的距離增大而減少這一實驗結論.然而，關于系統(tǒng)的局部Hopf分支定性分析和分支性質是否可以進行全局延拓，系統(tǒng)產生雙Hopf分支的條件將會是哪些?諸如此類問題尚有待于進一步分析和研究.

［1］Rayleigh L.On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity［J］.Philosophical Magazine Series，1917，34:94–112.

［2］Plesset M S.The dynamics of cavitation bubbles［J］.Applied Mechanics，1949，16:277–282.

［3］Plesset M S，Prosperetti A.Bubble dynamics and cavitation［J］.Annual review of fluid mechanics，1977，9:145–185.

［4］Ruan S，Wei J.On the zeros of transcendental functions with applications to stability of delay differential equations with two delays［J］.Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems Series A:Mathematical Analysis，2003，10:863–874.