高中數(shù)學(xué)合情推理教學(xué)思考

束艷 潘歆

【摘要】合情推理是新課改后數(shù)學(xué)教材中新增的重要內(nèi)容，本文分別從情境創(chuàng)設(shè)、教學(xué)過程、應(yīng)用三個方面對高中數(shù)學(xué)合情推理的教學(xué)進(jìn)行了深入思考，認(rèn)為情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)從數(shù)學(xué)和生活同時入手，教學(xué)過程應(yīng)遵循數(shù)學(xué)方法的教學(xué)原理，最終目的在于應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】合情推理；情境創(chuàng)設(shè)；數(shù)學(xué)方法；應(yīng)用

【基金項目】江蘇師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新計劃一般項目

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（G.Polya）最先提出了“合情推理”，合情推理能夠再現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體思維過程，是具有創(chuàng)造性的推理方法。從此，推理在生活中的其他各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用更為突出。數(shù)學(xué)教育工作者雖對推理的重要性早已有深刻認(rèn)識，但是并沒有在數(shù)學(xué)教材以及教學(xué)中得到具體體現(xiàn)。新一輪課程改革之后，各種版本的數(shù)學(xué)高中教材都新增了推理這一重要內(nèi)容，有合情推理和演繹推理。合情推理與演繹推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程和數(shù)學(xué)體系建構(gòu)過程中的兩種重要思維方式，學(xué)習(xí)合情推理與演繹推理對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力具有重要價值。因此，高中數(shù)學(xué)中合情推理與演繹推理的教學(xué)理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育工作者研究與思考的重要課題之一。

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中對合情推理與演繹推理給出了明確區(qū)分，合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程；而演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。由此可見，在解決實際問題的過程中，合情推理更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，因此本文主要談?wù)摳咧袛?shù)學(xué)“合情推理”的教學(xué)。新課標(biāo)明確要求將“培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力”作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，可見新課程改革已經(jīng)將“合情推理”置于了如此重要的地位。但是，高中一線數(shù)學(xué)教師對此卻很畏懼，因為無論在理論上還是在實踐方面他們都缺乏經(jīng)驗。根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，我們從以下幾個方面來對“合情推理”教學(xué)進(jìn)行深入思考。

1.合情推理來源于生活，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)從數(shù)學(xué)和生活同時入手

合情推理來源于生活，但是，并不是生活中所有的例子都適合拿來創(chuàng)設(shè)“合情推理”的教學(xué)情境。我們來看一個例子：一位教師在校外借班進(jìn)行“合情推理（第一課時）”教學(xué)時，是這樣進(jìn)行情境導(dǎo)入的。上課開始展示圖片：神探狄仁杰探案、考古發(fā)掘、醫(yī)生診斷病人、衛(wèi)星云圖，同時做簡單的解說，并提出問題。此課堂中呈現(xiàn)出來的情境都來自于生活，并且看似很陌生，學(xué)生對這里提出的生活情境不一定都有所認(rèn)識。生活情境要能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也要能夠讓學(xué)生獲得感性上的認(rèn)識。

新課標(biāo)在“合情推理”教學(xué)方面建議：要注意從學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例出發(fā)，喚起學(xué)生的經(jīng)驗，找到知識的生長點(diǎn)。由此可見，“合情推理”情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)從數(shù)學(xué)和生活實例入手。合情推理的例子在數(shù)學(xué)中到處可見，因此，學(xué)生學(xué)過的數(shù)學(xué)實例并不難尋找。但是，教師在進(jìn)行“合情推理”教學(xué)時不能隨便拿一個數(shù)學(xué)實例就進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)，這需要教師在平時的教學(xué)中多積累、多發(fā)現(xiàn)有價值的數(shù)學(xué)實例?！昂锨橥评怼鼻榫硠?chuàng)設(shè)應(yīng)該是數(shù)學(xué)實例和生活實例同時進(jìn)行，生活實例雖然也容易尋找，但是，生活實例不宜過于復(fù)雜，應(yīng)是學(xué)生熟悉的。例如，“由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想一切金屬都能導(dǎo)電”可用來作為生活實例，這一物理知識是學(xué)生熟知的，用來創(chuàng)設(shè)情境可加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)中的“合情推理”處處存在。

“問題情境的創(chuàng)設(shè)事實上涉及了三種不同的內(nèi)容：情境內(nèi)容、學(xué)生經(jīng)驗內(nèi)容、數(shù)學(xué)內(nèi)容?！币虼?，“合情推理”教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)當(dāng)考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗，教學(xué)設(shè)計要具體情況具體分析，這對任課教師在校外借班上課是一個極大的挑戰(zhàn)?！昂锨橥评怼鼻榫硠?chuàng)設(shè)也要注意孔子提出的“因材施教”。

2.合情推理是基本的數(shù)學(xué)方法，教學(xué)過程應(yīng)遵循數(shù)學(xué)方法的教學(xué)原理

數(shù)學(xué)科學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展表明，“數(shù)學(xué)不應(yīng)簡單地被等同于數(shù)學(xué)知識的匯集，而應(yīng)被看成是由理論、方法、問題和符號語言等多種成分所組成的一個復(fù)合體?！边@表明方法是數(shù)學(xué)活動的重要組成成分，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)方法的教學(xué)。眾所周知，過去的高中數(shù)學(xué)甚至整個中學(xué)階段的數(shù)學(xué)都沒有對數(shù)學(xué)方法進(jìn)行系統(tǒng)的介紹，新教材增加“合情推理”這一基本的數(shù)學(xué)方法，可見其重要性非同尋常。《合情推理教學(xué)模式簡介》一文中認(rèn)為，教師在進(jìn)行“合情推理”教學(xué)時可參考以下基本操作模式：

但是，實際操作過程中要靈活轉(zhuǎn)變，教學(xué)并沒有固定的模式。

教材中不對數(shù)學(xué)方法進(jìn)行系統(tǒng)介紹，是因為數(shù)學(xué)方法多種多樣，其教學(xué)更難以整體把握。因此，數(shù)學(xué)方法都是通過日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行滲透的。那么，“合情推理”教學(xué)理應(yīng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)滴滴地滲透給學(xué)生，而不是教師直接告之學(xué)生。數(shù)學(xué)乃至其他學(xué)科中能夠用合情推理來解決的問題數(shù)不勝數(shù)，教師不可能把所有能夠用合情推理來解決的問題告訴學(xué)生。因此，這就需要教師在平時的日常教學(xué)中積累豐富的案例，仔細(xì)推敲、比較案例之間的區(qū)別與聯(lián)系，借助最經(jīng)典的案例將“合情推理”這一數(shù)學(xué)方法滲透給學(xué)生。同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生從整體上認(rèn)識“合情推理”，勤反思，多總結(jié)，最好能夠舉一反三，這樣才有利于學(xué)生對“合情推理”進(jìn)行內(nèi)化。

由以上的分析可以發(fā)現(xiàn)，“合情推理”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其教學(xué)應(yīng)該遵循數(shù)學(xué)方法的教學(xué)原理。新課程改革以前，數(shù)學(xué)方法的教學(xué)都是通過平時的教學(xué)點(diǎn)點(diǎn)滴滴滲透給學(xué)生的，新課改新增“合情推理”這一重要數(shù)學(xué)方法，只是給教師將平時積累的數(shù)學(xué)方法集中呈現(xiàn)出來的一個機(jī)會，上好“合情推理”一課不容易，對教師更是一個挑戰(zhàn)。

3.合情推理教學(xué)在于應(yīng)用

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法的最終目的是用方法來解決問題，因此，學(xué)生學(xué)習(xí)了“合情推理”之后，要善于將其用來解決問題。如何才能更好地將“合情推理”賦之運(yùn)用呢？新課標(biāo)中指出：在教學(xué)中不僅要重視對方法的特點(diǎn)進(jìn)行靜態(tài)分析，更要重視方法被抽象出來的過程，通過對數(shù)學(xué)活動過程的分析來認(rèn)識它們的特點(diǎn)和作用（即對它們做動態(tài)的考察）。這表明，教師在對“合情推理”進(jìn)行應(yīng)用時，要注意動靜結(jié)合，結(jié)果是靜止不變的，也是無法改變的，而過程的動態(tài)呈現(xiàn)就需要充分發(fā)揮教師和學(xué)生的智慧。

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·選修1-2·數(shù)學(xué)》中有一道有關(guān)正整數(shù)平方和公式的推導(dǎo)案例賞析，案例中給出了兩種詳細(xì)的推導(dǎo)思路，分別是歸納的思路和演繹的思路。教師如何向?qū)W生呈現(xiàn)動態(tài)的推導(dǎo)過程？筆者認(rèn)為，第一，教師要明確，歸納和演繹是兩種完全不同的思考方式，歸納屬于合情推理，演繹即演繹推理，動態(tài)過程有明顯區(qū)別。第二，運(yùn)用合情推理解決的最常見的數(shù)學(xué)問題是數(shù)列，這要求教師對數(shù)字比較敏感，善于將公式進(jìn)行變形，尋找規(guī)律。這一過程不能完全由教師自導(dǎo)自演，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師應(yīng)充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，動態(tài)過程由此得到體現(xiàn)。第三，教師在進(jìn)行教學(xué)時要留給學(xué)生充分的思考和回顧時間，讓整個動態(tài)過程留在學(xué)生腦海中回味，這樣才能快速地得出靜態(tài)的結(jié)果，并且有利于學(xué)生掌握合情推理，在以后的學(xué)習(xí)中更好地運(yùn)用合情推理解決更多的問題。

總之，教師在進(jìn)行“合情推理”教學(xué)時，要將推理的動態(tài)過程展示給學(xué)生。另外，運(yùn)用“合情推理”解決問題的方法不是統(tǒng)一的，教師要讓學(xué)生思考、反思推理過程的特點(diǎn)，在變化多端的動態(tài)問題中尋找不變，這也是動靜結(jié)合的一種體現(xiàn)。

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