基于Logistic混沌系統(tǒng)與魔方變換的圖像加密方案

董虎勝 陸萍

摘要： 設(shè)計(jì)了一種基于Logistic映射與魔方變換的圖像加密方案。該方案采用改進(jìn)的混沌序列二值化方法，并借用魔方變換的思想，將二值序列轉(zhuǎn)換所得的整數(shù)序列與圖像像素值運(yùn)算后，對圖像的行列分別作循環(huán)移位完成對圖像的加密。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析表明，該加密方案具有良好的圖像加密效果，對于常見的攻擊具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

關(guān)鍵詞： Logistic映射； 混沌系統(tǒng)； 魔方變換； 圖像加密

中圖分類號：TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1006-8228（2012）11-12-04

Scheme of image encryption based on logistic chaos system and magic cube transformation

Dong HuSheng， Lu Ping

（Dept. of Information， SuZhou Institute of Trade & Commerce， Suzhou， Jiangsu 215009， China）

Abstract： An image encryption algorithm based on logistic map and magic cube transformation is proposed. The encryption scheme adopts an improved chaotic sequence binarization method and the idea of magic cube transformation. Values of Image's pixels are changed by the operation with integers acquired by binary sequence first， and then image is scrambled by cyclic shift of rows and columns. Experimental results show that the algorithm has good encryption performance and fine anti-attack capability.

Key words： logistic map； chaos system； magic cube transformation； image encryption

0 引言

在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，大量的數(shù)字媒體信息通過互聯(lián)網(wǎng)方便快捷地發(fā)布與傳播，這在給人們帶來方便的同時(shí)也存在著許多安全隱患。數(shù)字媒體信息由于其自身特點(diǎn)極易被復(fù)制、篡改與存儲，使得數(shù)字信息傳輸中的安全問題顯得越來越重要。為了保證圖像數(shù)據(jù)在傳輸中的安全，廣泛應(yīng)用了圖像加密與置亂技術(shù)。由于傳統(tǒng)的加密技術(shù)將圖像作為一般數(shù)據(jù)流處理，不考慮其多媒體特性，使得其在應(yīng)用中存在諸多缺陷[1]，為此，人們不得不探索更為優(yōu)秀的加密系統(tǒng)。近年來，越來越多的學(xué)者開始使用混沌系統(tǒng)對圖像進(jìn)行加密[2-5]。文獻(xiàn)[2]采用Logistic混沌序列在DCT域?qū)D像完成了加密處理。文獻(xiàn)[3]采用混合混沌系統(tǒng)生成了分布特性更為優(yōu)良的混沌序列對圖像加密。文獻(xiàn)[4，5]在對圖像的加密中使用三維或更高維的超混沌系統(tǒng)。

本文設(shè)計(jì)了一種基于Logistic混沌系統(tǒng)與魔方變換思想的圖像加密方案。在采用改進(jìn)的 Logistic混沌系統(tǒng)的二值序列獲取方法后，生成的二值序列具有更優(yōu)秀的分布特性。該加密方案在利用混沌序列與圖像的像素值運(yùn)算后，再作魔方旋轉(zhuǎn)置亂完成對圖像的加密。實(shí)驗(yàn)證明該加密方案算法簡單、運(yùn)算量低，具有優(yōu)秀的圖像加密效果。

1 Logistic混沌系統(tǒng)

混沌現(xiàn)象最早由美國氣象學(xué)家Lorenz在研究模擬天氣預(yù)報(bào)時(shí)發(fā)現(xiàn)，為非線性動(dòng)力系統(tǒng)的一種確定性的、類似隨機(jī)的過程，其不存在重復(fù)的周期也不發(fā)生收斂，在系統(tǒng)初始值微小變化的情況下將生成截然不同的結(jié)果，即對初始值“敏感”。利用混沌系統(tǒng)的這些特性，僅需使用少數(shù)的密鑰即可通過迭代生成數(shù)量眾多、不相關(guān)、類隨機(jī)且可再生的混沌序列。迄今為止，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)多種具有混沌特性的系統(tǒng)，從簡單的一維系統(tǒng)到高維的超混沌系統(tǒng)在圖像加密中均有應(yīng)用。由于高維的混沌系統(tǒng)構(gòu)造相對復(fù)雜，因此實(shí)際應(yīng)用中大量使用的是一維混沌系統(tǒng)。

一維離散時(shí)間非線性動(dòng)力系統(tǒng)的定義：

xk+1=τ（xk）⑴

其中，xk∈V，k=0，1，2，…稱為狀態(tài)，τV→V為一映射，將當(dāng)前狀態(tài)xk映射到下一狀態(tài)xk+1。確定初值x0后通過迭代，則可獲得序列X={xk|k=0，1，2，…}，該序列即該離散時(shí)間動(dòng)力系統(tǒng)的一條軌跡。

1.1 Logistic映射

Logistic映射是一種被廣泛使用的一維混沌序列生成器，其結(jié)構(gòu)較為簡單，表示為：

xk+1=μxk（1-xk）⑵

其中xk為映射變量，μ為分支參量。當(dāng)μ∈[3.569945972，4]、xk∈（0，1）時(shí)，Logistic映射工作于混沌狀態(tài)。由不同的初始值x0所獲取的序列X={xk，k=0，1，2，…}具有非周期性及不收斂的特征，且對初始值非常敏感。隨著μ的增加，系統(tǒng)將不斷經(jīng)歷倍周期分叉，當(dāng)μ達(dá)到3.569945972時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，當(dāng)2.6≤μ≤4時(shí)繪制出的Logistic映射倍周期分岔圖如圖1所示。

圖1Logistic映射倍周期分岔圖

當(dāng)μ=4時(shí)，由Logistic映射生成的混沌序列的概率分布函數(shù)為：

⑶

通過ρ（x）可獲得Logistic映射所產(chǎn)生的混沌序列的一些重要的統(tǒng)計(jì)特性。其中混沌序列軌跡點(diǎn)的均值為：

⑷

選擇兩個(gè)不同的初始值x0與y0通過迭代生成不同的序列，計(jì)算序列的相關(guān)性函數(shù)如下：

⑸

取初始值x0分別為0.4與0.400001分別迭代50次后，生成的混沌序列如圖2所示，其中，實(shí)線是初值為0.4的迭代軌跡，虛線是初值為0.400001的迭代軌跡。由圖2可見在迭代近20次后，序列開始分岔，且相差很大，說明Logistic混沌序列對初值非常敏感。

圖2Logistic映射初值敏感性測試

（a） 序列自相關(guān)（b） 序列互相關(guān)

圖3Logistic映射序列自相關(guān)與互相關(guān)特性圖

取初值為0.4與0.400001，在迭代5000次后對生成的序列計(jì)算其自相關(guān)與互相關(guān)特性，在相關(guān)間隔為-1000～1000時(shí)如圖3所示，其中，圖3（a）為初值為0.4所獲得序列的自相關(guān)特性圖，圖3（b）為兩序列的互相關(guān)特性圖。由圖3可見Logistic混沌序列具有白噪聲的分布特性。

通過上述分析可知該混沌動(dòng)力系統(tǒng)具有確定性，且結(jié)構(gòu)形式簡單、對初值敏感，可生成具有白噪聲統(tǒng)計(jì)特性的序列，適合應(yīng)用于圖像信息加密。

1.2 混沌二值序列與整數(shù)序列的獲取

在圖像加密運(yùn)算中一般需要使用二值序列或整數(shù)序列，二值序列的獲得可對由Logistic映射生成的混沌序列根據(jù)閾值τ，由閾值函數(shù)Г（·）獲得：

⑹

整數(shù)序列可通過對從獲得的二值序列B={bk，k=0，1，2，…}中截取L位序列轉(zhuǎn)化為整數(shù)而實(shí)現(xiàn)：

⑺

其中，Sb為截取的b（i：i+L-1），bit2num（·）為二值序列轉(zhuǎn)換為整數(shù)函數(shù)。

為了保證加密的效果，混沌二值序列應(yīng)具備良好的隨機(jī)性。但是，采用上述方法生產(chǎn)的二值序列存在著安全性不高的缺點(diǎn)，在將二值序列轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)時(shí)容易出現(xiàn)“聚集”現(xiàn)象[6]，為此，可采用不同的初始值x0與y0分別迭代生成兩路序列X與Y進(jìn)行比較的改進(jìn)方法，通過比較xk與yk而獲取二值序列B，即將式⑹改進(jìn)為：

⑻

取x0=0.4按式⑹二值化后以8位為單位轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制結(jié)果，如圖4（a）所示，采用x0=0.4、y0=0.45按式⑻二值化后轉(zhuǎn)換為整數(shù)，結(jié)果如圖4（b）所示。由圖4可知采用式⑹直接轉(zhuǎn)換所得的十進(jìn)制數(shù)產(chǎn)生了“聚集”現(xiàn)象，而采用式⑻獲得的十進(jìn)制數(shù)具有良好有隨機(jī)性分布，其統(tǒng)計(jì)特性明顯得到改進(jìn)，將其應(yīng)于圖像加密可獲得更好的安全性。

（a） 按式⑹轉(zhuǎn)換結(jié)果 （b） 按式⑻轉(zhuǎn)換結(jié)果

圖4二值序列轉(zhuǎn)換為整數(shù)的隨機(jī)性比較

2 基于混沌與魔方的圖像加密方案

2.1 圖像的魔方變換

魔方是一種被分割為諸多可旋轉(zhuǎn)的小塊的立方體結(jié)構(gòu)，圖5為一種常見且簡單的3×3×3魔方玩具，其各軸向上每一層的所有子塊組成的面均可旋轉(zhuǎn)，這樣可將原先排好的圖案打亂，而采用相同的逆向旋轉(zhuǎn)則可以將圖像還原。對于圖5所示的魔方，雖然其結(jié)構(gòu)非常簡單，但要將其復(fù)原卻非常困難。若將魔方旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)用于具有大量行、列的數(shù)字圖像的置亂，在對不同的行列采用具有隨機(jī)性、次數(shù)不同的旋轉(zhuǎn)后，若要復(fù)原將極具難度，而這正達(dá)到對圖像加密的目的。

圖53×3×3的魔方結(jié)構(gòu)

由于魔方變換是對三維空間上的處理，而圖像是二維數(shù)字矩陣，為此本文采用循環(huán)移位的方法以使其適用于圖像的加密。對于一幅數(shù)字圖像，在對其將各行、列分別作次數(shù)不同的數(shù)據(jù)循環(huán)移位操作后，會(huì)有效地打亂原圖像像素的分布，實(shí)現(xiàn)對圖像數(shù)據(jù)的置亂與加密。此方法在應(yīng)用于圖像加密時(shí)數(shù)據(jù)運(yùn)算量低，而且可以適用于任意大小的圖像，而不像Arnold變換、幻方變換、Hilbert曲線變換等僅適用于方陣圖像。

2.2 圖像加密與恢復(fù)

設(shè)原始圖像I的大小為M×N，各像素灰度值為I（i，j），i=1，2，…，M，j=1，2，…，N，圖像的加密過程描述如下。

⑴ 根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)μ及兩個(gè)系統(tǒng)初始值x0、y0，通過迭代生成適合長度len的混沌序列Sx與Sy，為保證序列具有足夠的長度，要求len≥4MN。為進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的安全系統(tǒng)，對兩路序列均舍棄前t項(xiàng)。

⑵ 根據(jù)式⑺獲得二值序列B，并根據(jù)該像素I（i，j）在當(dāng)前圖像中的位置p：

p=（i-1）×M+j⑼

取混沌二值序列B（p：p+7）與I（i，j）作異或運(yùn)算得到像素值改變的圖像I'：

⑽

⑶ 根據(jù)閾值τx及τy分別對Sx與Sy按下式運(yùn)算：

Ti=Ti-τ⑾

并對運(yùn)算結(jié)果取小數(shù)點(diǎn)后的3-5位組成整數(shù)序列Zx與Zy，保留運(yùn)算結(jié)果的符號。

⑷ 對圖像I'的各行根據(jù)Zx（i），i=1，2，…，M作循環(huán)移位操作，若Zx（i）符號為正則順序移位，否則逆向處理；同樣對I'的各列按Zy（j），j=1，2，…，N作循環(huán)移位操作。

⑸ 經(jīng)上述操作后即可得到加密的圖像IE，若要進(jìn)一步增強(qiáng)圖像加密效果，可將各序列的起始點(diǎn)后移作多次迭代。

圖像的解密過程為加密的逆運(yùn)算，在獲得加密圖像文件與初值x0、y0、系統(tǒng)參數(shù)μ、閾值τx、τy后，只需對各列、行先作逆向循環(huán)移位操作，再將二值序列轉(zhuǎn)換所得的整數(shù)與各像素值異或即可獲得原始圖像。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

我們選用了大小為256×256，8位灰度的Lena.bmp圖像進(jìn)行測試，結(jié)果如圖6所示。實(shí)驗(yàn)中所取的各系統(tǒng)參數(shù)為：μ=0.4、x0=0.40、y0=0.80、t=1000，閾值τx及τy均為序列初值。由圖6可見該算法具有良好的圖像加密效果，加密后的圖像已完全不可辨認(rèn)，原圖像信息得到了有效的隱藏，從其直方圖可見加密后的圖像分布均勻，有效地消除了原圖的灰度統(tǒng)計(jì)特征。

（a） 原始Lena圖像（b） Lena圖像直方圖

（c） 加密圖像（d） 加密圖像直方圖

圖6Lena圖像測試結(jié)果

4 算法性能分析與測試

4.1 密鑰空間

根據(jù)Shannon理論，加密系統(tǒng)的算法是透明的，而加密密鑰至關(guān)重要。一個(gè)安全可靠的加密方案需要具有足夠大的密鑰空間?？紤]到計(jì)算機(jī)的運(yùn)算精度，若按10-10計(jì)，算法的密鑰空間可達(dá)到1020，若將系統(tǒng)參數(shù)μ、及t、τx、τy等均可作為密鑰對待，密鑰空間可進(jìn)一步增大到1060，足夠抵御密鑰窮舉攻擊。

4.2 密鑰敏感性測試

在其他參數(shù)取值不變的情況下，僅改變x0取值，當(dāng)x0=0.4000001時(shí)，對圖6（c）作解密運(yùn)算，其結(jié)果如圖7所示。其中，圖7（a）為x0=0.40的正確解密的圖像，圖7（b）為錯(cuò)誤解密圖像。雖然密鑰相差僅有0.000 001，但卻未正確解密，可見算法對初始密鑰具有極強(qiáng)的敏感性，具有很強(qiáng)的抗密鑰窮舉攻擊能力。

（a） 正確解密圖像 （b） 錯(cuò)誤解密圖像

圖7密鑰敏感性測試結(jié)果

4.3 抗攻擊測試

圖像在傳輸中可能會(huì)受到各種無意或惡意的攻擊，因此圖像加密系統(tǒng)還應(yīng)具備一定的抗干擾能力。圖8給出了加密圖像在受到各種常見攻擊后的解密結(jié)果，可見所設(shè)計(jì)的加密方案在受到較強(qiáng)干擾的情況下仍能有效地恢復(fù)原圖，具備一定的抗攻擊能力。

（a） 2%高斯噪聲（b） 5%椒鹽噪聲

（c）中心1/4剪切 （d） 30%質(zhì)量的JPEG壓縮

圖8受攻擊的加密圖像恢復(fù)結(jié)果

5 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)了一種基于Logistic混沌映射與魔方變換的圖像加密方案，該方案采用改進(jìn)的Logistic混沌序列二值化方法，使二值序列在轉(zhuǎn)換為整數(shù)時(shí)避免了“聚集”現(xiàn)象。該加密方案首先利用二值序列轉(zhuǎn)換所得的實(shí)數(shù)序列改變原始圖像的像素值，再利用魔方變換思想，使用兩路整數(shù)序列分別控制圖像行、列的循環(huán)移位操作將像素點(diǎn)打亂。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該方案具有良好的圖像加密效果與較強(qiáng)的抗攻擊能力。

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