數(shù)形結(jié)合在解題中的運(yùn)用

吳春林

摘要： 數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)新課程所滲透的重要思想方法之一。新教材中的內(nèi)容能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。教材中這一方法的滲透對(duì)發(fā)展學(xué)生的解題思路、尋找最佳解題方法有著指導(dǎo)性的作用，可對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正確的分析、比較、合理聯(lián)想，逐步形成正確的解題觀(guān)，還可在學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)抽象概念給予形象化的理解和記憶，提高數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，并提高對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)能力，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不斷完善自己。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合解題運(yùn)用

數(shù)學(xué)是研究客觀(guān)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩種表達(dá)形式，數(shù)是形的抽象概括，形又是數(shù)的直觀(guān)表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合并不是簡(jiǎn)單地堆砌，而是有機(jī)地結(jié)合。華羅庚教授曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！睌?shù)形結(jié)合是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言同直觀(guān)的圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過(guò)圖形的描述、代數(shù)的論證來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。而對(duì)于抽象思維還不夠成熟的高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，如果在解題中能夠很好地運(yùn)用這一數(shù)學(xué)解題中重要方法，就能夠使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，進(jìn)而簡(jiǎn)化解題過(guò)程，從而達(dá)到事半功倍的效果。

一、利用數(shù)形結(jié)合解決集合問(wèn)題

圖示法是集合的重要表示法之一，對(duì)一些比較抽象的集合問(wèn)題，在解題時(shí)若借助韋恩圖或用數(shù)軸、圖像等數(shù)形結(jié)合的思想方法，往往可以使問(wèn)題直觀(guān)化、形象化，從而靈活、直觀(guān)、簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解。

例1：若I為全集，M、N?哿I，且M∩N=N，則（）。

A.CM?勐CNB.M?哿CNC.CM?哿CND.M?勐CN

提示：由韋恩圖很容易知道答案為C。

二、方程與函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合

函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的一種表示，它是從“形”的方面來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的變化規(guī)律。函數(shù)圖像形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀(guān)性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。函數(shù)的圖像和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，實(shí)質(zhì)是相同的，在解題時(shí)經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化，在解決函數(shù)問(wèn)題，尤其是較為繁瑣的（如分類(lèi)討論、求參數(shù)的范圍等）問(wèn)題時(shí)要充分發(fā)揮圖像的直觀(guān)作用，如：求解函數(shù)的值域時(shí)，可給一些代數(shù)式賦予一定的幾何意義，如直線(xiàn)的斜率，線(xiàn)段的長(zhǎng)度（兩點(diǎn)間的距離）等，把代數(shù)中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換。

方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題。不等式f（x）＞g（x）的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖像位于函數(shù)y=g（x）的圖像上方的那部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合。

例2：設(shè)函數(shù)f（x）=（），x≤0，x，x＞0，若f（x）＞1，則x的取值范圍是（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，＋∞）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

分析:本題主要考查函數(shù)的基本知識(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，以及借助數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力。

解：如圖1，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=f（x）的圖像和直線(xiàn)y=1，它們相交于（-1，1）和（1，1）兩點(diǎn)。由f（x）＞1，得x＜-1或x＞1。答案：D。

例3：方程lgx=sinx解的個(gè)數(shù)為（ ）。

A.1B.2C.3D.4

分析：畫(huà)出函數(shù)y=lgx與y=sinx的圖像（如圖2）。注意兩個(gè)圖像的相對(duì)位置關(guān)系。答案：C。

三、利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列可看成以n為自變量的函數(shù)，等差數(shù)列可看成自然數(shù)n的“一次函數(shù)”，前n項(xiàng)和可看成自然數(shù)n的缺常數(shù)項(xiàng)的“二次函數(shù)”，等比數(shù)列可看成自然數(shù)n的“指數(shù)函數(shù)”，在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)可借助相應(yīng)的函數(shù)圖像來(lái)解決。

例4：若數(shù)列{a}為等差數(shù)列，a＝q，a＝p，求a。（如圖3）

分析：不妨設(shè)p＜q，由于在等差數(shù)列中，a關(guān)于n的圖像是一條直線(xiàn)上均勻排開(kāi)的一群孤立的點(diǎn)，故三點(diǎn)（p，q），（q，p），（p＋q，m）共線(xiàn)，設(shè)a+q＝m，由已知，得三點(diǎn)（p，a），（q，a），（p＋q，a+q）共線(xiàn)。則k=k，即=，得m＝0，即a＝0。

四、不等式與解析幾何中的數(shù)形結(jié)合

在解析幾何中，借助直線(xiàn)、圓及圓錐曲線(xiàn)在直角坐標(biāo)系中圖像的特點(diǎn)，可從圖形上尋求解題思路，啟發(fā)思維，難題巧解。

例5：曲線(xiàn)y=（0≤x≤2）與直線(xiàn)y=k（x-2）+2有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）。

A.（，1） B.（，+∞）

C.（，1］ D.［，+∞）

分析：曲線(xiàn)y=（0≤x≤2）的圖像是以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方（包括x軸）的部分。直線(xiàn)y=k（x-2）+2是過(guò)定點(diǎn)P（2，2）、斜率為k的直線(xiàn)。在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出它們的圖像，觀(guān)察圖4，符合要求的直線(xiàn)l介于直線(xiàn)l、l之間（包括l，不包括l），其中l(wèi)與半圓相切，l過(guò)原點(diǎn)。通過(guò)計(jì)算容易求得l的斜率為1，l的斜率為，所以＜k≤1。答案：C。

例6：如果實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足等式（x-2）+y＝3，那么的最大值是（）。

A.B.C.D.

圖5分析：等式（x-2）+y=3有明顯的幾何意義，它表示以（2，0）為圓心，r=為半徑的圓（如圖5）。而=則表示圓上的點(diǎn)（x，y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的連線(xiàn)的斜率。如此一來(lái)，該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動(dòng)，求直線(xiàn)OA的斜率的最大值。由圖5可見(jiàn)，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限，且與圓相切時(shí)，OA的斜率最大，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，得最大值為tan60°=。答案：D。

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：其一，注意數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化前后的問(wèn)題應(yīng)是等價(jià)的；其二，注意利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性，像判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成圖形后要保證“數(shù)”的精確性，才能得出正確結(jié)論。有些問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的圖形不唯一，要根據(jù)不同的情況作出相應(yīng)的圖形后，再進(jìn)行討論求解。

總之，學(xué)生要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有深厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧，如果只理解了幾個(gè)典型習(xí)題，就認(rèn)為領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合這一思想方法，是錯(cuò)誤的。在平日的教學(xué)中，教師要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，溝通知識(shí)聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的思維能力。而且數(shù)形結(jié)合也不能只作為解題工具，只有充分揭示出數(shù)形結(jié)合的教育意義，深入挖掘其教育價(jià)值，數(shù)形結(jié)合在后續(xù)學(xué)習(xí)中才會(huì)有更旺盛的生命力，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合提高解題能力的研究也才會(huì)有更深、更好的基礎(chǔ)。只有這樣，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的能力才能不斷提高。